Дифференциальное уравнение состояния артериальной гемодинамики мозга



Скачать 235.5 Kb.
Дата01.10.2017
Размер235.5 Kb.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ АРТЕРИАЛЬНОЙ ГЕМОДИНАМИКИ МОЗГА
А.А. Черевко1, А.В. Михайлова2

1 - ИГиЛ СО РАН, Новосибирск, Россия

2 - НГУ, Новосибирск, Россия
cherevko@mail.ru
Аннотация. На основании клинических данных мониторинга кровотока, полученных в ИГиЛ СО РАН и ННИИПК во время нейрохирургических операций, построена модель гемодинамики, связывающая изменения по времени давления и скорости в артериальной сети сосудов головного мозга. Модель представляет собой уравнение нелинейного осциллятора (обобщенное уравнение
Ван-дер-Поля), скорость играет роль управления. Коэффициенты уравнения, определяемые методами обратных задач, находятся индивидуально для каждого пациента. Модель показала свою универсальность на данных, полученных в нейрохирургических операциях.
ВВЕДЕНИЕ
Построение математических моделей гемодинамики мозга сопряжено с большими трудностями. Они проистекают из сложности геометрии сосудов, образующих кровеносную систему, из различия механических свойств стенок сосудов в разных участках системы, из нестационарности потока крови, необходимости описания реологии среды мозга, в котором расположены сосуды. Одним из путей преодоления этих трудностей является построение математической модели непосредственно по данным эксперимента методами обратных задач для дифференциальных уравнений.
УРАВНЕНИЕ МОДЕЛИ
Используются данные скорости и давления кровотока, измеренные в артериях, находящихся в операционном поле, во время нейрохирургических операций [1,2]. Такой мониторинг осуществляется учеными ИГиЛ СО РАН и нейрохирургами ННИИПК. В качестве базового уравнения модели выбрана модель нелинейного осциллятора с правой частью (обобщенное уравнение Ван-дер-Поля с нагрузкой)
, (1)
функции , в (1) определяют сопротивление и упругую силу системы. Величины y=y(t) и z=z(t) представляют собой нормированные значения давления и скорости кровотока (|y| ≤ 1, |z| ≤ 1). Скорость z(t), задающая правую часть уравнения (1), является параметром управления системы.

Уравнение вида (1) имеет, по крайней мере, одно периодическое решение (Рейссиг P., Сансоне Г., Конти Р.), вместе с тем, несмотря на свою простоту, оно имеет режимы с очень сложной структурой решения (Мищенко Е. Ф. , Розов Н. Х.; Картрайт М., Литлвуд Д.; Плисс В.А). Поскольку скорость и давление в организме представляются почти периодическими функциями, то уравнение (1) представляется удобной и простой моделью, описывающей связь давления и скорости в сложной системе «поток крови - упругая стенка сосуда – окружающая среда мозга». Тем самым уравнение (1) можно рассматривать как своеобразное дифференциальное уравнение состояния, описывающее реологию такой сложной


системы [3,4,5].
ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЯ
Коэффициенты k, ai, bj (i=0,1,2, j=1,2,3) рассчитываются по экспериментальным данным, они и определяют индивидуальные характеристики среды для конкретного пациента. Построение модели происходит по следующей схеме. Клинические данные представляют собой массив числовых данных
{yi, zi | i=1,..,N} – измерение параметров кровотока в конкретном месте сосуда, N – размерность массива данных. В качестве «начальных данных» используются измерения в течение 5 секунд, по ним восстанавливается уравнение, описывающее гемодинамику на большом промежутке времени (порядка нескольких минут). Уравнение (1) переписывается как разностное, неизвестным является вектор (ai, bj, k), матрица такой системы определяется по массиву экспериментальных данных. Эта линейная система для семи неизвестных с матрицей размера 7х1000 решается методами регуляризации, применяемыми в обратных и некорректных задачах (Тихонов А.Н., Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Кабанихин С.И.).
СВОЙСТВА МОДЕЛИ
Уравнение вида (1) построено для 12 операций по излечению артерио-венозных мальформаций и церебральных аневризм. Доказаны следующие его свойства:

  1. Решение уравнения (1) хорошо аппроксимирует экспериментальные данные (Рис.1).


Рис.1. yz-диаграммы для пациентов с артерио-венозной мальформацией (слева) и артериальной аневризмой (справа) (черный цвет – клинические данные, красный – решение уравнения (1)).



  1. Решение уравнения, построенного для малого промежутка времени, хорошо описывает экспериментальные данные на большем промежутке времени (Рис.2).



Рис.2. Изменения в процессе лечения артерио-венозной мальформации:


слева – изменение давления P и скорости V, справа – дрейф PV-диаграммы

(черный цвет – клинические данные, красный – решение уравнения (1)).




  1. Уравнение (1) устойчиво относительно возмущения начальных данных: цикл, описывающий решение, является притягивающим.

  2. Уравнение (1) устойчиво относительно возмущений коэффициентов: малое изменение коэффициентов соответствует малому изменению решения.

Полученные результаты говорят о том, что уравнение (1) является адекватной моделью, описывающей сложную среду гемодинамики мозга.

В выполнении данной работы принимал участие А.П.Чупахин (ИГиЛ СО РАН). Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ проект №14-01-00036; программы ОЭММПУ, проект №2.13.4.


Литература


  1. Панарин В.А., Орлов К.Ю., Кривошапкин А.Л., Чупахин А.П., Черевко А.А., Хе А.К., Телегина Н.Ю., Баранов В.И. Использование гидродинамических расчетов в выборе сценария эмболизации церебральной артериовенозной мальформации c фистульным компонентом // Патология кровообращения и кардиохирургия, 2012, №3.

  2. А.П. Чупахин, А.А. Черевко, А.К. Хе, Н.Ю. Телегина, А.Л. Кривошапкин, К.Ю. Орлов, В.А. Панарин, В.И. Баранов. Измерения и анализ локальной церебральной гемодинамики у больных с сосудистыми мальформациями головного мозга // Патология кровообращения и кардиохирургия, 2012, №4.

  3. Хирургия аневризм головного мозга. / Под ред. В.В. Крылова. В трех томах. – М., 2011, 2012.

  4. Т. Педли. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов. М.: Мир, 1983.

  5. А.В. Левтов, С.А. Регирер, Н.Х. Шадрина. Реология крови. М.: Медицина, 1982.



Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©zodorov.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница