Лекции по теории сигналов




страница1/6
Дата06.10.2017
Размер1.19 Mb.
Просмотров28
Скачиваний0
  1   2   3   4   5   6

Лекции по теории сигналов
А.А. Григорьев
1 Элементы теории сигналов
1.1 Пространство сигналов с конечной энергией
1.1.1 Основные понятия
В линейном пространстве комплексных сигналов x(t) с конечной энергией
|x(t)|
2
dt < ?
скалярное произведение x(t), y(t) = x, y =
x(t)y
?
(t) dt вводит структуру Гильбертова пространства. Элементы этого пространства (сигналы)
становятся векторами.
Свойства скалярного произведения:
Линейность по левой координате
?x
1
+ ?x
2
, y = ? x
1
, y + ? x
2
, y
Антилинейность по правой координате x, ?y
1
+ ?y
2
= ?
?
x, y
1
+ ?
?
x, y
2
Сопряженная симметрия x, y
?
= y, x
Вещественность и неотрицательность нормы x, x ? 0
Как обычно, векторы считаются ортогональными, если их скалярное произведение x, y равно нулю. Норма (длина) вектора вводится через скалярное произведение x
2
= x, x ,
x =
x, x
Квадрат нормы имеет смысл энергии сигнала. Расстояние между сигналами - это норма их разности d(x, y) =
x ? y
Неравенство треугольника x ? y
?
x + y обеспечивает Евклидовость расстояния.
1

1.1.2 Согласованная фильтрация
Теорема 1.1 (Неравенство Коши-Шварца) Имеет место граница
| x, y | ? x y
с равенством если и только если y = ?x.
Доказательство. Рассмотрим задачу наилучшей аппроксимации вектора y вектором
?x по критерию минимальности нормы разности y ? ?x
2
=
y, y ? ?
?
y, x ? ? x, y + ??
?
x, x
(1)
Элементарное решение задачи минимизации по вещественной и мнимой частям ? дает
?
opt
= y, x / x, x
, что отвечает условию ортогональности вектора ошибки y
?
= y ? ?x вектору x y ? ?x, x = y, x ? ? x, x = y, x ?
y, x x, x x, x
= 0
Подставляя найденное ?
opt в (1), найдем y ? ?x
2
= y, y ? 2
| x, y |
2
x, x
+
| x, y |
2
x, x
2
x, x
? 0,
откуда и вытекает неравенство
Обобщение. Пусть имеется ортонормированный базис
(e
1
, e
2
, . . . , e n
); e i
, e i
= 1, e i
, e k
= 0
Его линейную оболочку будем рассматривать как пространство сигналов. Поставим задачу аппроксимации сигнала (вектора) y вектором y =
?
i e
i из пространства сигналов.
Наилучшая в смысле минимума нормы разности y
?
= y?y аппроксимация обеспечивается выполнением условия ортогональности вектора ошибки y
?
пространству сигналов y
?
, e i
= 0, i = 1, . . . , n и имеет вид y
=
y, e i
e i
Компонента y
?
, ортогональная пространству сигналов, не может повлиять на решения,
выносимые по результатам обработки сигнала y внутри пространства. То есть, набор скалярных произведений x, e i
дает полную информацию о принятом сигнале y.
Процедуру нахождения наилучшей проекции принятого сигнала в подпространство сигналов конечной размерности называют согласованной фильтрацией. Согласованная фильтрация реализуется вычислением скалярных произведений с базисными векторами.
В простейшем случае одномерного пространства речь идет о единственном скалярном произведении.
2

1.2 Спектральная теория
1.2.1 Преобразование Фурье
Преобразование Фурье ставит в соответствие каждому сигналу x(t) его амплитудный спектр
X(f ) =
x(t)e
?2?if t dt =
x(t)e
?f t dt.
Преобразование обратимо x(t) =
X(f )e
+2?if t df =
X(f )e
+f t df
Соглашение. Для лаконичности формул далее везде мы опускаем множитель 2?i в показателях и множитель 2? в аргументах тригонометрических функций. Таким образом, e f t следует читать как e
2?i f t
, а cos ft как cos 2? ft.
Сигнал x(t) и его амплитудный спектр X(f) разумно рассматривать как две различные формы представления одной и той же сущности. Он может быть эквивалентно представлен как во временной области, функцией x(t), так и в частотной области - функцией X(f).
Иными словами, сигнал рассматривается здесь как пара функций x(t) ? X(f )
связанных преобразованиями Фурье.
Упражнение 1 Пусть rect
X
(x) =
1
при x ? (?X/2, X/2)
0
иначе симметричный прямоугольный импульс. Показать, что
1
?
T
rect
T
(t) ?
?
T
sin ?T f
?T f
=
?
T sinc (?T f ),
?
F sinc (?F t) =
?
F
sin ?F t
?F t
?
1
?
F
rect
F
(f ),
где F T = 1 1.2.2 Свойства симметрии
Следующие свойства симметрии вытекают непосредственно из определений.
Фундаментальная симметрия.
Сопряжению сигнала во временной области отвечает сопряжение с отражением в частотной и наоборот x
?
(t) ? X
?
(?f )
x
?
(?t) ? X
?
(f )
Сопряженные симметрии.
Если сигнал вещественен (x
?
= x
), то его спектр сопряженно симметричен
X(?f ) = X
?
(f ).
3

Наоборот, мнимому сигналу (x
?
= ?x
) отвечает сопряженно антисимметричный спектр
X(?f ) = ?X
?
(f ).
Всякий спектр X(f) можно представить суммой сопряженно симметричной и сопряженно антисимметричной компонент
X(f ) = X
s
(f ) + X
a
(f ) =
X(f ) + X
?
(?f )
2
+
X(f ) ? X
?
(?f )
2
и этому представлению будет отвечать разложение комплексного сигнала x(t) = x i
(t) +
ix q
(t)
в сумму вещественной и мнимой частей x
i
(t) ? X
s
(f ),
ix q
(t) ? X
a
(f ).
Наоборот, разложению сигнала на сопряженно симметричную и антисимметричную составляющие во временной области x(t) = x s
(t) + x a
(t) =
x(t) + x
?
(t)
2
+
x(t) ? x
?
(t)
2
отвечает разложение спектра X(f) = X
i
+ iX
q на вещественную и мнимую части x
s
(t) ? X
i
(f ),
x a
(t) ? iX
q
(f )
Двойные симметрии.
Сопряженная симметрия функции означает симметрию ее вещественной и антисимметрию мнимой частей. Cопряжено симметричный вещественный сигнал просто симметричен. Cопряжено симметричный мнимый - антисимметричен. Для сопряженно антисимметричных сигналов все наоборот. По свойству сопряженной симметрии,
1. Если сигнал x(t) вещественен, то его спектр X(f) сопряженно симметричен.
2. Если сигнал x(t) мним, то его спектр X(f) сопряженно антисимметричен.
3. Если сигнал x(t) сопряженно симметричен , то его спектр X(f) вещественен.
4. Если сигнал x(t) сопряженно антисимметричен, то его спектр X(f) мним.

Согласно (1) и (3), вещественный и симметричный сигнал имеет вещественный симметричный спектр.

Согласно (1) и (4), вещественный антисимметричный сигнал имеет мнимый атисимметричный спектр.

Согласно (2) и (3), мнимый симметричный сигнал имеет мнимый симметричный спектр.

Согласно (2) и (4), мнимый антисимметричный сигнал имеет вещественный антисимметричный спектр.
4

1.2.3 Синус и косинус преобразования
Имеем
X(f ) =
+?
??
(x s
+ x a
)(cosf t ? isinf t)dt = 2
+?
0
(x s
cosf t ? ix a
sinf t)dt x(t) =
+?
??
(X
s
+ X
a
)(cosf t + isinf t)df = 2
+?
0
(X
s cosf t + iX
a sinf t)dt
Отсюда, для случая симметричных сигнала (спектра) получаем косинус-преобразование
X(f ) = 2
+?
0
x(t)cosf t dt,
x(t) = 2
+?
0
X(f )cosf t dt,
а для антисимметричных сигнала (спектра) - синус преобразование
X(f ) = ?2
+?
0
x(t)sinf t dt,
x(t) = 2
+?
0
X(f )sinf t dt.
1.2.4 Теормы о сдвиге
Суть утверждений этих очевидных теорем состоит в том, что сдвиг сигнала в одном из представлений эквивалентен умножению на комплексную экспоненту в другом.
x(t ? t
0
) ? X(f )e
?f t
0
x(t)e
+f
0
t
? X(f ? f
0
)
Упражнение 2 Опираясь на теорему о сдвиге, найти спектр импульса кода
Манчестера (два сдвинутые прямоугольные импульса)
M (t) = rect
T /2
(t ? T /4) ? rect
T /2
(t + T /4)
Предложить алгоритм нахождения спектров серий импульсов.
1.2.5 Теорема о свертке
Сверткой сигналов x(t) и y(t) называют функцию
(x ? y)(t) =
x(u)y(t ? u) du
(2)
Элементарно устанавливается факт симметрии свертки относительно перестановки координат
(x ? y)(t) = (y ? x)(t).
5

Теорема 1.2 Свертке временных форм сигналов отвечает перемножение их частотных форм и наоборот.
(x ? y)(t) ? X(f )Y (f )
x(t)y(t) ? (X ? Y )(f )
Доказательство. Заменим в правой части (2) сигнал x(t) его представлением через амплитудный спектр
(x?y) =
X(f )e f u y(t?u) dudf =
X(f )
y(t?u)e
?f (t?u)
du e f t df =
X(f )Y (f )e f t df
В частности, при t = 0 отсюда получаем сверточную форму тождества Парсеваля x(t)y(?t) dt =
X(f )Y (f ) df,
(3)
используемую для определения спектров обобщенных функций.
Упражнение 3 Используя теорему о свертке, найти спектры импульсов
1. гармоническая полуволна (произведение прямоугольника на сумму комплексных экспонент)
p(t) = rect
T
(t) cos (?F t),
F T = 1 2. приподнятый косинус p(t) = rect
T
(t) {1 + cos (2?F t)} ,
F T = 1
Преобразование свертки - это математическая модель операции линейной фильтрации сигналов.
Линейный фильтр характеризуется импульсной реакцией h(t) - откликом фильтра на импульсное воздействие ?(t). Импульсная реакция связана преобразованием Фурье с комплексным коэффициентом передачи фильтра H(f).
Пусть на входе фильтра h(t) ? H(f) действует сигнал x(t) ? X(f). Тогда отклик фильтра y(t) ? Y (f) может быть найден во временной области как свертка y(t) = (x ? h)(f ) =
x(u)h(t ? u) du,
или в частотной области как произведение
Y (f ) = H(f )X(f ).
1.2.6 Энергетические корреляции и спектры
Взаимно корреляционная функция двух сигналов x(t) и y(t) - это скалярное произведение x(t)
на сдвинутую во времени копию сигнала y(t).
R
xy
(t) = x, y(t) = x(u), y(u ? t)
=
x(u)y
?
(u ? t) du
(4)
6

В случае, когда x(t) и y(t) - один и тот же сигнал, функция R
x
(t) = x, x(t)
называется авто корреляционной функцией сигнала x(t).
Очевидно следующее свойство симметрии x, y(?t) = y, x(t)
?
В частности, авто корреляционная функция комплексного сигнала сопряженно симметрична x, x(?t) = x, x(t)
?
Для вещественного сигнала это влечет симметрию авто корреляционной функции.
Из определений свертки и корреляции следует, что взаимно корреляционная функции x, y(t)
есть свертка x(t) с комплексно сопряженным и отраженным во времени сигналом y
?
(?t)
x, y(t) = x(t) ? y
?
(?t) .
По фундаментальному закону симметрии, операции сопряжения с отражением во временной области отвечает комплексное сопряжение в частотной. Поэтому, сигналу y
?
(?t)
отвечает спектр Y
?
(f )
. С учетом этого, теорема о свертке дает следующее представление для спектра взаимно корреляционной функции.
x, y(t) ? X(f )Y
?
(f ),
или в развернутой форме
R
xy
(t) = x, y(t) =
x(u)y
?
(u ? t) du =
X(f )Y
?
(f )e
+f t df
(5)
X(f )Y
?
(f ) =
R
xy
(t)e
?f t dt
Произведение X(f)Y
?
(f )
называют взаимным энергетическим спектром сигналов x, y.
В частности, для одного сигнала получаем пару
R
x
(t) = x, x(t) ? |X(f )|
2
авто корреляционная функция ? энергетический спектр.
При t = 0 (5) дает корреляционную форму тождества Парсеваля x(u)y
?
(u) du =
X(f )Y
?
(f ) df,
(6)
которая означает, что скалярное произведение сигналов инвариантно относительно переходов между временной и частотной областями - x(t), y(t) = X(f), Y (f) .
Скалярное произведение, а следовательно и метрические свойства сигналов во временной и частотной областях совпадают.
В частности, тождеству Парсеваля для одного сигнала x(t), x(t) = X(f ), X(f )
энергия сигнала не изменяется при переходе от временной формы представления к частотной.
7

Упражнение 4 Найти авто корреляционную функцию и энергетический спектр прямоугольного импульса rect
T
(t)
Упражнение 5 Найти авто корреляционную функцию и энергетический спектр импульса Найквиста sinc(?F t) =
sin(?F t)
?F t
Упражнение 6 Найти авто корреляционные функции и энергетические спектры импульсов из упражнения 3.
8

1.2.7 Обобщенные функции и их спектры
Опираясь на тождество Парсеваля x(t)y(?t) dt =
X(f )Y (f ) df,
введем понятие спектра обобщенной функции.
Пусть g(t) - основная функция с конечной энергией, G(f) - ее амплитудный спектр.
Спектром обобщенной функции x(t), определенной своим действием на основные функции по правилу x(t)g(?t)dt,
назовем обобщенную функцию X(f), для которой x(t)g(?t)dt =
X(f )G(f ) df.
Спектр симметричной единицы, ?-функция
Пусть x(t) = 1(t) = 1 - тождественная единичная функция. Имеем
1 g(?t)dt = G(0) =
X(f )G(f )df.
Следовательно, X(f) = ?(f). Таким образом,
1(t) ? ?(f ),
?(t) ? 1(f ).
Подключив теорему о сдвиге, находим e
+f
0
t
? ?(f ? f
0
),
?(t ? ? ) ? e
?f
0
?
Далее,
cos(f
0
t) =
e
+f
0
t
+ e
?f
0
t
2
?
1 2
?(f ? f
0
) +
1 2
?(f + f
0
),
sin(f
0
t) =
e
+f
0
t
? e
?f
0
t
2i
?
1 2i
?(f ? f
0
) ?
1 2i
?(f + f
0
),
Упражнение 7 Показать, что (x(t)??(t??)) = x(t??). Проверить выполнение этого тождества в частотной области.
Спектр антисимметричной единицы, главное значение
Рассмотрим антисимметричную единичную финкцию sign (t) =
?
?
?
1
при t > 0 0
при t = 0
?1
при t < 0
Ее обобщенный спектр может быть найден предельным переходом sign (t)e
?f t df = lim
?? 0
sign (t)e
??|t|
e
?f t df = ?
i
?f
9

Он выражается через обобщенную функцию главное значение - 1/x. Аналогичным образом можно найти временную форму для антисимметричной единицы в частотной области sign (f). В результате получаем пары обобщенных Фурье преобразований sign (t) ? ?
i
?f
,
i
?t
? sign (f ).
Упражнение 8 Найти спектр функции sign (t + T /2) ? sign (t ? T /2).
Упражнение 9 Показать, что для функции единичная ступень
?(t) =
1
при t > 0 0
при t ? 0
=
1 2
{1 + sign(t)}
справедливо
?(t) ?
1 2
(?(f ) ? i
1
?f
),
?(f ) ?
1 2
(?(t) + i
1
?t
).
Упражнение 10 Проверить выполнение следующих теорем о свертке обобщенных функций
(?(t) ? ?(t))(? )
=
?(? )
(?(t) ?
1
?t
)(? )
=
1
?t
(
1
?t
?
1
?t
)
=
??(t)?
Теорема о двух гребенках
Рассмотрим функцию гребенка , получаемую в результате трансляции ?-функции вдоль оси времени (частоты) с фиксированным шагом T (F )
?(t) =
?
n=??
?(t ? nT ).
Эта функция дает простое математическое описание для

операции равномерной дискретизации g(t) - взятия последовательности выборок g(nT )
g(t) =? g(t)
?
n=??
?(t ? nT ) =
?
n=??
g(nT )?(t ? nT )

операции периодического продолжения g(t) вдоль оси времени g(t) =? g(t) ?
?
n=??
?(t ? nT ) =
?
n=??
g(t ? nT )
Следующая теорема устанавливает связь между операциями дискретизации и периодического продолжения, имеющую принципиальное значение для приложений,
связанных с цифровой обработкой сигналов.
10

Теорема 1.3 (О двух гребенках) Фурье образом гребенки с шагом T во временной области является гребенка с шагом F в частотной области и наоборот (F T = 1).
n
?(t ? nT ) ? F
m
?(f ? mF ).
Доказательство. Обобщенный амплитудный спектр суммы в левой части имеет вид n
?(t ? nT ) e
?nf t dt =
n e
?nT f
Сумму в правой части будем интерпретировать как периодическую функцию с периодом F
и разложим ее в ряд Фурье по системе ортогональных на интервале (?F/2, F/2) функций e
?kT f m
?(f ? mF ) =
k c
k e
?kT f
Коэффициенты Фурье c k
этого ряда
F c k
=
T /2
?T /2
?(t)e kT f df = 1
одинаковы и равны 1/F , что и доказывает тождество .
По теореме о свертке, перемножению функций во временной области отвечает их свертка в частотной и наоборот. Но, как показано выше, умножение на гребенку описывает дискретизацию, а свертка с ней - периодическое продолжение. Таким образом, результат теоремы приводит к выводам:

Дискретизации сигнала x(t) во времени с шагом T в частной области отвечает периодическое продолжение спектра X(f) с периодом F , F T = 1

Периодическому продолжению сигнала x(t) во времени с периодом T в частной области отвечает дискретизация спектра X(f) с шагом F , F T = 1
Критерий Найквиста обратимости дискретизации
Пусть x(t) - сигнал с амплитудным спектром X(f), финитном на носителе (?F/2, F/2).
Осуществим его дискретизацию с шагом T . Спектром дискретизованного сигнала n
x(nT )?(t ? nT )
станет периодическое продолжение X(f) c периодом F = 1/T
m
X(f ? mF ).
Но, в силу финитности спектра X(f), его транслированные на F реплики не перекрываются на оси частот. Поэтому, исходный спектр X(f) может быть однозначно восстановлен по продолженному. Следовательно, и сигнал x(t) может быть однозначно восстанавлен по последовательности своих выборочных значений x(nT ).
11

Теорема 1.4 (Теорема Найквиста о выборках) Всякий сигнал со спектром,
сосредоточенным в полосе (?F/2, F/2), без потери информации представляется последовательностью выборочных значений x(nT ), взятых с шагом дискретизации
T ? 1/F
(или с частотой дискретизации F
d
? F
).
Если сигнал вещественен, то его сопряженно симметричный спектр волне определяется компонентной на положительных частотах с верхней частотой
F
h
= F/2
. Тогда минимальная частота дискретизации составляет F
d
= 2F
h
Упражнение 11 Пусть спектр сигнала x(t) сосредоточен в полосе (?F/2, F/2).
Рассмотрим дискретизованный сигнал x
d
(t) =
n x(nT )?(t ? nT ), T ? 1/F.
Найти выражение для сигнала y(t), получающегося в результате фильтрации x
d
(t)
фильтром с комплексным коэффициентом передачи H(f) = rect
F
(f )
. (Ряд
Котельникова).
Упражнение 12 Доказать следующую теорему об интерполяции.
Пусть дана последовательность выборок x n
, конечная или бесконечная.
Найдется интерполирующая функция x(t), такая что x(nT ) = x n
, а спектр X(f) - финитен в полосе (?F/2, F/2), F ? 1/T .
Намек - одной из интерполирующих функций является ряд Котельникова.
Спектр периодического сигнала
Пусть x(t) - периодический сигнал с периодом T . Умножением на прямоугольный импульс rect
T
(t)
вырежем его реализацию x
T
(t) = x(t)rect
T
(t)
и пусть X
T
(f )
- амплитудный спектр реализации. Свертка с гребенкой во временной области обеспечивает восстановление x(t) периодическим продолжением реализации x
T
(t)
x(t) = x
T
(t) ?
?(t ? nT )
В частотной области этому отвечает ?-дискретизация спектра X
T
(f )
. Учитывая это, для спектра периодическго сигнала x(t) находим
X(f ) = F
X
T
(mF )?(f ? mF ), F T = 1.
Таким образом, спектр периодического сигнала имеет вид гребенки ?-функций с весами X
T
(mF )
, равными выборочным значениям амплитудного спектра реализации на периоде. Сигнал однозначно восстанавливается по выборкам спектра с шагом F = 1/T .
12

2 Пространство комплексных огибающих
2.1 Фильтр Гильберта для вещественных сигналов
Фильтр с равномерным на всех частотах коэффициентом передачи 1(f) = 1 назовем тривиальным. Его импульсная реакция h(t) = ?(t).
Рассмотрим двойственный фильтр с комплексным коэффициентом передачи sign(f )
i
Мнимая единица в знаменателе обеспечивает сопряженную симметричность sign(f )
i
, так что импульсная реакция этого фильтра вещественна. Она определяется известным обобщенным Фурье преобразованием функции sign (f) и имеет вид h(t) =
1
?t
Этот фильтр называют фильтром Гильберта, а реализуемое им преобразование сигналов x(t) =
x(t) ?
1
?t
=
1
?
x(u)
t ? u du преобразованием Гильберта. То же преобразование в частотной области принимает особенно простой вид
X(f ) = X(f )
sign(f )
i
Повторное применение преобразования
X(f ) = X(f )
sign(f )
i sign(f )
i
= ?X(f ),
x(t) = ?x(t)
дает исходный сигнал x(t) с обратным знаком. В этом смысле преобразование Гильберта обратимо.
Теорема 2.1 Преобразование Гильберта сохраняет скалярное произведение,
в том числе - метрику.
x, y
=
x, y .
Доказательство. Проводится в одну строку переходом в частотную область:
x, y ? X(f )
sign(f )
i
Y
?
(f )
sign(f )
i
?
= X(f )Y
?
(f ) ?
x, y
Теорема 2.2 Имеет место следующее свойство антисимметрии x, y = ? x, y .
Доказательство. Так же в одну строку:
x, y ? [X(f )
sign(f )
i
]Y
?
(f ) = ?X(f )[Y
?
(f )(
sign(f )
i
)
?
] ? ? x, y
Следствие 1 Сигнал x(t) и его преобразование Гильберта x(t) ортогональны.
x, x
=
x, x
= 0.
13

Доказательство. По свойству антисимметрии, x, x = ? x, x . Но, с другой стороны,
скалярное произведение вещественных сигналов симметрично, и поэтому x, x = x, x .
Отсюда вытекает равенство нулю
Теорема 2.3 (Гильбертовы преобразования гармонических сигналов) Имеем,
cos(f t) = sin(f t)
sin(f t) = ?cos(f t)
Доказательство. В самом деле,
cos(f
0
t) ?
1 2
(?(f ? f
0
) + ?(f + f
0
))
sign(f )
i
=
1 2i
(?(f ? f
0
) ? ?(f + f
0
)) ? sin(f
0
t)
Второе аналогично
Теорема 2.4 Пусть x(t) - сигнал со спектром, финитном на ?f
0
, f
0
. Тогда
(x(t)cos(f
0
t)) = x(t)sin(f
0
t)
(x(t)sin(f
0
t)) = ?x(t)cos(f
0
t)
Доказательство, Начнем с первого тождества. Сравним спектральные представления его левой и правой частей.
x(t)cos(f
0
t) ?
1 2
(X(f ? f
0
) + X(f + f
0
))
sign(f )
i
=
1 2i
(X(f ? f
0
) ? X(f + f
0
))
x(t)sin(f
0
t) ?
1 2i
(X(f ? f
0
) ? X(f + f
0
))
Совпадение служит доказательством. Второе тождество доказывается аналогичным образом
Теорема 2.5 (Ортогональность квадратурных каналов) Пусть x(t), y(t) -
- два различные сигнала со спектром, финитном на носителе (?f
0
, f
0
)
Тогда сигналы x(t)cos(f
0
t)
и y(t)sin(f
0
t)
- ортогональны.
Замечание. Если x(t) = y(t), то ортогональность является следствием того, что x(t)sin(f
0
t)
есть преобразование Гильберта от x(t)cos(f
0
t)
. В общем случае это не так,
однако ортогональность все же имеет место.
Доказательство.
В
частотной области скалярное произведение x(t)cos(f
0
t), y(t)sin(f
0
t)
представляется в виде
1 4
X(f ? f
0
) + X(f + f
0
)
(Y
?
(f ? f
0
) + Y
?
(f + f
0
))
sinc(f )
i df
Учитывая, что спектры, сдвинутые вправо (X(f ? f
0
))
и влево (Y (f + f
0
))
не перекрываются, приведем это к виду
1 4
X(f ? f
0
)Y
?
(f ? f
0
) + X(f + f
0
)Y
?
(f + f
0
)
sinc(f )
i df,
14
что равно нулю ввиду антисимметрии подынтегральной функции
В целом, складывается следующая картина.
Пространство сигналов удобно представлять себе расщепленным на два линейные подпространства - две квадратурные компоненты. Существует косинусное подпространство с сигналами вида x(t)cos f
0
t и синусное подпространство с сигналами x(t)sin f
0
t
. Они взаимно ортогональны. Гильбертово преобразование реализует линейное отображение одной квадратурной компоненты на другую с сохранением скалярного произведения.


Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4   5   6


База данных защищена авторским правом ©zodorov.ru 2017
обратиться к администрации

войти | регистрация
    Главная страница


загрузить материал