Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами



Скачать 65.59 Kb.
страница3/3
Дата16.04.2019
Размер65.59 Kb.
ТипРешение
1   2   3
Алгоритм решения

Последовательность действий.

y- 2y’ + 2y = + 4x +1;

Начальные условия: у(0)= -1 y’(0)=1

1. Записываем характеристическое уравнения.

y=1, y’=r, y’’= , тогда:

+ 2r +2 =0

2. Находим корни характеристического уравнения

D = - 4 1 2 = -4 < 0,

= = = -1 i

3. Записываем общее решение однородного уравнения ( исходя из того, что корни характеристического уравнения – комплексные).

= α i��, �� 0

Общее вид:

y = ( cos ��x + sin��x)

для данного случая:

α =1, ��=1, тогда:

= ( cos x + sin x)


4. Записываем выражение для решения общего неоднородного уравнения.

= +

5. Записываем общий вид для частного неоднородного решения

= α + ��x +c – т.к. f(x)- стоящая в правой части исходного дифференциального уравнения есть многочлен 2-ой степени.


6. Находим производное 1 –го и 2-го порядка для решения частного неоднородного уравнения.

у’ = ( α + ��x +c) = 2αx + b

y’’ = ( 2αx + b)’ =2a



7. Подставляем найденные производные 1-го и 2-го порядка в исходное дифференциальное уравнение.

2a + 2(2ax + b) + 2 (a + bx +c) = + 4x +1




8. Группируем члены уравнения по степеням.

2a + 4ax +2b + 2a + 2bx + 2c = + 4x +1,

тогда:


2a + x(4a + 2b) + 2a + 2b+2c = 4x +1


9.Находим коэффициенты , , методом неопределенных коэффициентов.

Алгоритм метода неопределенных коэффициентов:

ищем соответствие числовых коэффициентов при неизвестных в правой и левой частях уравнения:

2a + x(4a + 2b) + 2a +2b +2c = + 4x +1

или


2a + x(4a + 2b) + 2a+ 2b +2c=

= + 4x +1










10. Записываем найденные коэффициенты в решение частного неоднородного уравнения.

= a + bx + c = +x -1

11. Записываем решение общего неоднородного уравнения.

= + =

= cos x + sin x + +x +1



12. Подставляем заданные начальные условия y(0) =-1 в решение общего неоднородного уравнения.


cos(0) + sin(0) =-1

13. Находим производную



= [ ( )’ cos x + (cos x)’ ] + [ ( ) sin x + (sinx)’ ] + ( + x -1)’] = [- cos x + (-sinx) ] + [ - sinx + cos x ] +x + 1


14. Подставляем у’(0) =1 в найденную производную


[ -cos (0) + (-sin (0) ] + [ -sin(0) + cos(0) ] +1 =1

15. Составляем систему уравнений из и








16. Записываем ответ

=

(-cosx + sinx) + + x -1




Вопросы по изложенному материалу: eridu_8@yahoo.com

Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3


База данных защищена авторским правом ©zodorov.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница