Простейшая математическая модель инфекционного заболевания


§ 2.1. Построение простейшей модели заболевания



страница2/22
Дата12.03.2018
Размер0.72 Mb.
ТипГлава
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   22
§ 2.1. Построение простейшей модели заболевания
Итак, будем считать, что основными действующими факторами инфекционного заболевания являются следующие величины.

  1. Концентрация патогенных размножающихся антигенов V(t).

  2. Концентрация антител F(t). Под антителами понимаются субстраты иммунной системы, нейтрализующие антигены (иммуноглобулины, рецепторы клеток).

  3. Концентрация плазматических клеток C(t). Это популяция носителей и продуцентов антител (иммуно-компетентные клетки и иммуноглобулинопродуценты).

  4. Относительная характеристика пораженного органа m(t).

Переходим к построению уравнений модели. Первое уравнение будет описывать изменение числа антигенов в организме:

. (2.1.1)

Первый член в левой части этого уравнения описывает прирост антигенов dV за интервал времени dt за счет размножения. Естественно, что он пропорционален V и некоторому числу β, которое будем называть коэффициентом размножения антигенов. Член описывает число антигенов, нейтрализуемых антителами F за интервал времени dt. В самом деле, число таких вирусов, очевидно, будет пропорционально как количеству антител в организме, так и числу антигенов; γ — коэффициент, связанный с вероятностью нейтрализации антигена антителами при встрече с ним. Разделив соотношение (2.1.1) на dt, приходим к уравнению



. (2.1.2)

Переходим к построению второго уравнения, которое будет описывать рост плазматических клеток. С этой целью воспользуемся простейшей гипотезой формирования каскадных популяций плазматических клеток. Как было указано в §1.1, иммунокомпетентный B-лимфоцит стимулируется комплексом антигена с Ig-рецептором в присутствии сигнала от специфического T-помощника, активированного антигеном на макрофагах, и дает начало каскадному процессу образования клеток, синтезирующих антитела, нейтрализующие антигены данного сорта. Так как в нашей модели под антителами понимаются субстраты, способные связываться с антигенами, число лимфоцитов, стимулированных таким способом, будет пропорционально VF. Таким образом, приходим к соотношению, описывающему прирост плазмоклеток над нормальным уровнем C* — постоянным уровнем плазмоклеток в здоровом организме:



, (2.1.3)

. (2.1.4)

Более полное уравнение будет иметь вид



. (2.1.5)

Первый член в правой части (2.1.5) описывает генерацию плазмоклеток, τ — время, в течение которого осуществляется формирование каскада плазматических клеток, α — коэффициент, учитывающий вероятность встречи антиген — антитело, возбуждение каскадной реакции и число образующихся новых клеток. Второй член в этой формуле описывает уменьшение числа плазматических клеток за счет старения, μc — коэффициент, равный обратной величине их времени жизни. Разделив соотношение (2.1.5) на dt, приходим к уравнению



. (2.1.6)

Для получения третьего уравнения подсчитаем баланс числа антител, реагирующих с антигеном. Будем исходить из соотношения



. (2.1.7)

Первый член справа описывает генерацию антител плазматическими клетками за интервал времени dt, ρ — скорость производства антител одной плазматической клеткой. Второй член описывает уменьшение числа антител в интервале времени dt за счет связи с антигенами. В самом деле, как было отмечено выше при выводе уравнения (2.1.2), количество выбывающих за интервал времени dt антигенов за счет нейтрализации их антителами было равно . Если на нейтрализацию одного антигена требуется η антител, то мы и приходим к указанному члену формулы. Третий член описывает уменьшение популяции антител за счет старения, где μf — коэффициент, обратно пропорциональный времени распада антител. Разделив (2.1.7) на dt, приходим к уравнению



. (2.1.8)

Построенные уравнения не учитывают ослабления жизнедеятельности организма в ходе заболевания, связанного с уменьшением активности органов, обеспечивающих поставку иммунологического материала: лейкоцитов, лимфоцитов, антител и т. д., необходимых для борьбы с размножающимися антигенами. Примем гипотезу о том, что производительность таких органов связана с размерами поражения органа-мишени. С этой целью введем в рассмотрение уравнение для относительной характеристики поражения органа-мишени. Пусть M — характеристика здорового органа (масса или площадь), а M' — соответствующая характеристика здоровой части пораженного органа. Введем в рассмотрение величину m по формуле



. (2.1.9)

Это будет относительная характеристика поражения органа-мишени. Для непораженного органа она, естественно равна нулю, а для полностью пораженного — единице. Для этой характеристики рассмотрим уравнение (четвертое уравнение)



. (2.1.10)

Первый член в правой части (2.1.10) характеризует степень поражения органа. Предполагается, что за интервал времени dt увеличение относительной величины пораженного органа пропорционально количеству антигенов, которое описывается членом σV, где σ — некоторая константа, своя для каждого заболевания. Уменьшение этой характеристики происходит за счет восстановительной деятельности организма. Этот член будет зависеть от m с коэффициентом пропорциональности μm, характеризующим обратную величину периода восстановления органа в e раз.

Совершенно ясно, что при сильном поражении жизненно важных органов производительность выработки антител падает. Это является роковым для организма и ведет к летальному исходу. Во многих случаях он связан именно с указанным выше обстоятельством. В нашей модели фактор поражения жизненно важных органов можно учесть в уравнении (2.1.6), заменив коэффициент α на произведение αξ(m). Типичная схема для функции ξ(m) представлена на рис. 18.




Рис. 18. График функции ξ(m)

На этом рисунке кривая ξ(m) в интервале 0 ≤ mm* равна единице. Это значит, что работоспособность иммунологических органов в этом интервале не зависит от тяжести болезни. Но далее, при m*m ≤ 1, их производительность быстро падает, что соответствует линейной части кривой на этом интервале. Естественно, что в реальных условиях график ξ(m) может иметь более сложную форму, но качественно он всегда будет состоять из постоянной ξ = 1 в начале изменения аргумента m и убывающей, может быть, по нелинейной зависимости при дальнейшем увеличении этого аргумента. Для разных болезней крутизна этой части кривой, а также величина m* будут различны.

Таким образом, приходим к следующей системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений:


,




,




,

(2.1.11)

.




К системе уравнений (2.1.11) присоединим начальные данные при t = t0.

Обычно для уравнений с запаздыванием начальные условия задаются на интервале [t0- τ, t0]. Однако по биологическому смыслу описываемых процессов до момента заражения t0 вирусов в организме не было: V(t) ≡ 0 при t < t0, и поэтому начальные условия можно задать в точке t0. В дальнейшем, когда речь будет идти о начальных условиях для уравнений такого типа, задание их в точке означает, что V(t) ≡ 0 при t < t0. Имеем





Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   22


База данных защищена авторским правом ©zodorov.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница