Простейшая математическая модель инфекционного заболевания



страница5/22
Дата12.03.2018
Размер0.72 Mb.
ТипГлава
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   22
2.2.2. Стационарные решения. Система уравнений (2.1.11) допускает стационарные решения. Для их нахождения приравняем все производные нулю. Тогда получим

,




,




,

(2.2.3)

.




В силу независимости величин V и F от времени положено V(t — τ) = V = const, F(t — τ) = F = const. Далее заметим, что величина C* связана с F* соотношением

,

где C* и F* — значения C и F для здорового организма при V = 0. Нетрудно видеть, что одним из стационарных решений является тривиальное, которое описывает состояние здорового организма:



. (2.2.4)

Здесь концентрация антигенной популяции и пораженная масса органа равны нулю, а количества плазматических клеток C и антител F соответствуют иммунологическому статусу здорового человека.

Покажем, что это состояние асимптотически устойчиво при β < γF*. С этой целью рассмотрим малые возмущения неизвестных функций от состояния равновесия (2.2.4), положив

. (2.2.5)

Подставим эти выражения в систему уравнений (2.1.11) и, считая V', C', F' и m' малыми, отбросим величины второго порядка малости. В результате получим систему



,




,




,

(2.2.6)

.




Эту систему уравнений решим при следующих начальных данных:

V' = ε1, C' = ε2, F' = ε3, m' = ε4 при t = 0. (2.2.7)

Решая первое из уравнений (2.2.6) при V' = ε1, t = 0, получим выражение для V':



. (2.2.8)

Для того чтобы решение (2.2.8) с течением времени стремилось к нулю, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

β < γF*. (2.2.9)

Решение (2.2.8) перепишем в виде



, (2.2.10)

где β1 = γF* — β > 0 в силу (2.2.9).

Поскольку V' отлично от нуля только при t > 0, то на интервале [-τ, 0) V' = 0, и следовательно, для всех t < τ V'(t — τ) = 0.

А это значит, что решение второго из уравнений (2.2.6) при t < τ будет иметь вид



. (2.2.11)

При t ≥ τ с учетом начального условия , полученного из (2.2.11), и того, что согласно (2.2.10) , решение для С'(t) имеет следующий вид:



  1. в случае β1 ≠ μc

; (2.2.11а)

  1. в случае β1 = μc

. (2.2.11б)

Легко видеть, что в обоих случаях при выполнении неравенства (2.2.9), т. е. при β1> 0, малое отклонение от стационарного решения (2.2.5) C'(t) стремится к нулю с течением времени. Общее решение третьего уравнения имеет вид



, (2.2.12)

где постоянная A определяется через соответствующие начальные условия. Рассмотрев, как это было сделано для второго уравнения, все возможные соотношения между коэффициентами модели, приводящие к различным выражениям в (2.2.12), можно убедиться, что F' (t) → 0 при t → ∞, если β1 > 0. То же самое справедливо и для решения четвертого уравнения из (2.2.6), которое имеет аналогичную (2.2.11а), (2.2.11б) структуру:

а) в случае β1 ≠ μm

;

б) в случае β1 = μm



.

Таким образом, все малые возмущения стационарного решения (2.2.4) при β < γF* с течением времени стремятся к нулю, что и означает асимптотическую устойчивость данного решения.

В дальнейшем нас будет интересовать заражение здорового организма малой дозой антигена V0 = ε1, т. е. отклоняющейся в момент t = 0 от, стационарного решения (2.2.4) переменной будет только V. Оказывается [13], что в этой ситуации можно оценить «малость» дозы заражения, которая не приводит к потере устойчивости.

Такая доза удовлетворяет неравенству



. (2.2.13)

Величину V* назовем иммунологическим барьером. Будем говорить, что иммунологический барьер пройден, если доза заражения V0 удовлетворяет условию V0 > V*, и не пройден в противном случае. Тогда нашему исследованию можно дать следующую биологическую интерпретацию. Если при заражении здорового организма малой дозой антигенов иммунологический барьер не может быть пройден, то независимо от дозы заражения развития болезни не происходит, т. е. количество антигенов в организме с течением времени убывает, стремясь к нулю, а пораженный орган восстанавливается. Кроме того, повышение C* — уровня иммунокомпетентных клеток в здоровом организме (например, за счет клеток памяти при вакцинации), повышает иммунологический барьер (так как ) и, следовательно, является эффективным методом профилактики и, возможно, лечения болезни.

Переходим теперь к изучению стационарных решений, имитирующих хронический процесс заболевания. Он также описывается системой уравнений (2.2.3) при V > 0 и ξ(m) ≡ 1. Система допускает такое решение:

,




,

(2.2.14)

,




.




Черта сверху указывает, что речь идет о стационарном нетривиальном решении. Заметим, что решение (2.2.14) получено в предположении . В противном случае, т. е. при , нетривиальное стационарное решение существует только при β = γF*, причем может принимать любые положительные значения, , , . По-видимому, такому решению трудно придать биологический смысл, и оно представляет чисто математический интерес. Во всяком случае, мы в дальнейшем предполагаем и будем говорить о решении (2.2.14).

Покажем, что стационарное решение (2.2.14) устойчиво (Белых [9, 12]). С этой целью решение системы уравнений (2.1.11) будем искать в виде



, (2.2.15)

где , , , , определяемые формулами (2.2.14), удовлетворяют системе уравнений (2.2.3).

Подставляя выражение (2.2.15) в (2.1.11) и учитывая, что стационарное решение удовлетворяет системе (2.2.3), с точностью до малых величин второго порядка при ξ(m) = 1 получим

,




,




,

(2.2.16)

.




Исследуем эту систему на основе гармонического анализа, положив

, , , . (2.2.17)

Подставив выражение (2.2.17) в (2.2.16), будем иметь



,




,




,

(2.2.18)

.




Если исследовать корни характеристического уравнения системы (2.2.18), то можно показать, что отрицательная вещественная часть параметра λ, т. е. асимптотическая устойчивость решения системы, достигается для α → ∞ при следующих условиях (см. [9, 12, 13]):

,




(сут-1).

(2.2.19)

Поскольку в модели коэффициент α является величиной, характеризующей чувствительность иммунной системы, и , то эти условия биологически можно проинтерпретировать следующим образом. Во-первых, в организме со сколь угодно большой чувствительностью иммунной системы может устойчиво присутствовать небольшая ненулевая популяция антигенов. Во-вторых, антигены, вызывающие устойчивые хронические формы болезни в организме с достаточно высокой чувствительностью иммунной системы, обладают вялой динамикой.



Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   22


База данных защищена авторским правом ©zodorov.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница