Простейшая математическая модель инфекционного заболевания


Возможные формы динамики болезни и их классификация



страница6/22
Дата12.03.2018
Размер0.72 Mb.
ТипГлава
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   22
2.2.3. Возможные формы динамики болезни и их классификация. Анализ модели заболевания (2.1.11) позволяет судить о качественном поведении решения V(t) — концентрации антигенов при том или ином наборе коэффициентов. Но прежде чем дать классификацию решений, рассмотрим два предельных случая, которые, по сути дела, являются границами для решения V(t).

Допустим, что организм не производит антител данной специфичности, т. е. F(t)=F0=0 для всех t ≥ 0 и ρ ≡ 0. В этом случае уравнение для V(t) имеет вид



.

Решение этого уравнения дается формулой



,

где V0 — начальная концентрация антигенов (доза заражения) в момент времени t = 0. Что касается динамики поражения органа, то она описывается уравнением



,

решение которого при условии, что m = 0 при t = 0, имеет вид



.

Нетрудно видеть, что при отсутствии восстановительных процессов в пораженном органе, т. е. при μm = 0,



и при всех t ≥ 0



, , . (2.2.20)

По-видимому, такое решение соответствует течению болезни с летальным исходом, так как никаких компенсирующих рост антигенов факторов не имеется.

Рассмотренный случай является в известном смысле предельным. На практике такие случаи крайне редки. Однако иногда ответ иммунной системы на антиген оказывается столь слабым, что описанный здесь идеальный случай является для них хорошим приближением. Такая ситуация, например, возникает у некоторых людей преклонного возраста, иммунная система которых отказывает в выраженной реакции против антигена, или у людей с приобретенными или врожденными иммунными дефектами.

Второй предельный случай реализуется при сильно выраженном иммунном ответе, когда уровень присутствующих в организме антител, специфических к данному антигену, оказывается достаточным для того, чтобы уничтожить все проникшие в организм антигены, не включая в действие механизм антителообразования. В этом случае уравнение для V(t) имеет вид



,

где β << γF. Предполагая дозу заражения V0 малой, можно считать F величиной постоянной, определяемой нормальным уровнем антител F*. Тогда приведенное выше уравнение перепишется в виде



,

и его решение будет иметь вид



.

Это значит, что популяция антигенов в организме будет экспоненциально уменьшаться. В предельном случае β = 0 получим



.

Итак, мы нашли два предельных решения, соответствующих летальному исходу и высокому иммунологическому барьеру. При заданных значениях коэффициентов модели и начальных условиях естественно, что все семейство разнообразных динамик заболевания уложится в заштрихованной области, указанной на рис. 19.






Рис. 19. Область, содержащая допустимые решения модели

Наша дальнейшая задача состоит в изучении поведения других, менее тривиальных динамик заболевания. Предположим, что в момент времени t = 0 происходит заражение здорового организма начальной дозой антигенов V0 и выполняется β > γF*. Тогда начальные условия модели (2.1.11) имеют вид



V(0) = V0, C(0) = C*, F(0) = F*, m(0) = 0.

Концентрация антигенов при t > 0 начинает расти, так как в силу β > γF* производная dV/dt > 0 в окрестности точки t = 0. В момент времени t = t1 > 0 V(t) достигает своего максимума, т. е. V(t1) = Vmax, причем F(t1) = β/γ. При t > t1 по смыслу модели F(t) превосходит уровень β/γ и V(t) убывает, пока выполняется F(t) > β/γ, так как dV/dt < 0.

Возможна такая ситуация, что F(t) > β/γ выполняется на достаточно большом интервале времени (t1, t2) и V(t) на этом интервале падает до малых значений (практически до нуля). Такая ситуация изображена на рис. 20. Назовем решение такого типа острой формой болезни.



Рис. 20. Анализ решения, описывающего острую форму болезни

Если же интервал (t1, t2) достаточно узок, то в точке t = t2 F(t2) = β/γ, и V(t) достигает своего минимума Vmin, не успевая упасть до малых значений, а при t > t2 V(t) вновь начинает расти, так как dV/dt > 0 при t = t1 + ε вследствие F(t) < β/γ, где ε — малая величина. В дальнейшем качественно процесс не меняется и идет чередование локальных максимумов и минимумов V(t) (рис. 21). Назовем решение такого типа хронической формой болезни.






Рис. 21. Анализ решения, описывающего хроническую форму болезни

Таким образом, соотношение между длинами интервалов ∆t = t1't1 и ∆T = t2t1 (см. рис. 20) определяет исход болезни. Если ∆T > ∆t, то имеем дело с острой формой (рис. 20). Если ∆T = ∆t, то имеем дело с хронической формой (рис. 21). Понятно, что чем выше будет максимальное количество произведенных антител Fmax, тем больше ∆T = t2t1, и, следовательно, меньше вероятность возникновения хронической формы.





Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   22


База данных защищена авторским правом ©zodorov.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница