Реферат: 10 способов решения квадратных уравнений



Скачать 47.81 Kb.
страница11/12
Дата17.01.2019
Размер47.81 Kb.
ТипЛитература
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   12
Примеры.

1) Решим графически уравнение х2 — 3х — 4 = 0 (рис. 2).

Решение. Запишем уравнение в видех2 = 3х + 4 .

Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямую



у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и

N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках

А и В с абсциссами х1 = — 1 и х2 = 4Ответ: х1 = — 1;

х2 = 4.

2) Решим графически уравнение (рис. 3) х2 — 2х + 1 = 0 .

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 2х — 1.

Построим параболу у = х2 и прямуюу = 2х — 1.

Прямую у = 2х — 1 построим по двум точкам М (0; — 1)

и N (1/2; 0). Прямая и парабола пересекаются в точке А с

абсциссой х = 1Ответ: х = 1.

3) Решим графически уравнение х2 — 2х + 5 = 0 (рис. 4).

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 5х — 5. Построим параболу у = х2 и прямуюу = 2х — 5. Прямую у = 2х — 5 построим по двум точкам М(0; — 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.

Ответ. Уравнение х2 — 2х + 5 = 0 корней не имеет.

8. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.

Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах2 + b х + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5).

Допустим, что искомая окружность пересекает ось

абсцисс в точках В(х1; 0 ) и D (х2; 0), где х1 и х2 — корни уравнения ах2 + b х + с = 0, и проходит через точки

А(0; 1) иС(0; c / a ) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA •OC, откуда OC = OB • OD / OA = х1 х2 / 1 = c / a .

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

Итак:

1) построим точки (центр окружности) и A (0; 1) ;



2) проведем окружность с радиусом SA ;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра ( AS > SK , или R > a + c /2 a ), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6, а) В(х1; 0) и D (х2; 0), где х1 и х2 — корни квадратного уравнения ах2 + b х + с = 0 .

2) Радиус окружности равен ординате центра ( AS = SB , или R = a + c /2 a ), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точкеВ(х1; 0), где х1 — корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6, в), в этом случае уравнение не имеет решения.



Пример.

Решим уравнение х2 — 2х — 3 = 0 (рис. 7).



Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).



Ответ: х1 = — 1; х2 = 3.

9. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Это старый и незаслуженно забыты способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990).

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициен там определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис.11):

Полагая ОС = р, ED = q , ОЕ = а (все в см.), из подобия треугольников САН и CDFполучим пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение



z 2 + pz + q = 0,

причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.





Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   12


База данных защищена авторским правом ©zodorov.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница