Реферат: 10 способов решения квадратных уравнений



Скачать 47.81 Kb.
страница12/12
Дата17.01.2019
Размер47.81 Kb.
ТипЛитература
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   12
Примеры.

1) Для уравнения z 2 — 9 z + 8 = 0 номограмма дает корни

z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0 (рис.12).

2) Решим с помощью номограммыуравнение

2 z 2 — 9 z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение



z 2 — 4,5 z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z 1 = 4 иz 2 = 0,5.



3) Для уравнения

z 2 — 25 z + 66 = 0

коэффициенты p и qвыходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5 t, получим уравнение



t 2 — 5 t + 2,64 = 0,

которое решаем посредством номограммы и получим t 1 = 0,6 и t 2 = 4,4, откудаz 1 = 5t 1 = 3,0 иz 2 = 5 t 2 = 22,0.



10. СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал — Хорезми.



Примеры.

1) Решим уравнение х2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S = х2 + 10х + 25. Заменяя



х2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадратаABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у2 + 6у — 16 = 0 .



Решение представлено на рис. 16, где

у2 + 6у = 16, или у2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у2 + 6у — 16 + 9 — 9 = 0 — одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 = — 8 (рис.16).

3) Решить геометрически уравнение у2 — 6у — 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

у2 — 6у = 16.

На рис. 17 находим «изображения» выражения у2 — 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3. Значит, если к выражению у2 — 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у — 3. Заменяя выражение у2 — 6у равным ему числом 16,

получаем: (у — 3)2 = 16 + 9, т.е. у — 3 = ± √25, или у — 3 = ± 5, где у1 = 8 иу2 = — 2.

Заключение

Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

Однако, значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена вообще, просто ею не занимаются, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.

Здесь я остановилась на вопросе решения квадратных уравнений, а что,

если существуют и другие способы их решения?! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое. Но это вопросы уже следующих работ.

Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни.

Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.



Литература:

1. Алимов Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. Пробный учебник для 6-8 классовой средней школы. — М., Просвещение, 1981.

2. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы.Изд. 57-е. — М., Просвещение, 1990. С. 83.

3. Кружепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. — М., высшая школа, 1969.

4. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. — М., Просвещение, 1972.

5. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. — М., Квант, № 4/72. С. 34.

6. Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. — 4-е, дополн. — М., Высшая школа, 1973.

7. Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. — М., Просвещение, 1970.

Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   12


База данных защищена авторским правом ©zodorov.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница