Современные численные методы сверхзвуковой аэродинамики



Pdf просмотр
страница1/4
Дата12.09.2017
Размер1.44 Mb.
ТипРеферат
  1   2   3   4





Новосибирский государственный университет, 2003–2014 гг.
СОВРЕМЕННЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
СВЕРХЗВУКОВОЙ АЭРОДИНАМИКИ
А.Н.Кудрявцев
Лаборатория вычислительной аэродинамики
Институт теоретической и прикладной механики СО РАН
Лекции могут быть найдены
в Интернете по адресу:
http://www.itam.nsc.ru/users/alex/lectures

Содержание курса
Содержание
1. Введение. Гиперболические системы законов сохранения. Разрывные ре- шения. Понятие о схемах сквозного счета.
2. Основной вычислительный инструмент современной аэродинамики:
TVD схемы. Монотонная реконструкция переменных. Ограничители на- клона. Вычисление потоков: приближенные методы решения задачи Ри- мана.
3. Методы высокого порядка. ENO (essentially non-oscillatory) и WENO
(weighted essentially non-oscillatory) Понятие о разрывных методах Га- леркина.
4. Интегрирование по времени. Явные методы: TVD схемы Рунге-Кутты.
Неявные методы: алгоритмы приближенной LU факторизации. Обработ- ка и визуализация вычислительных результатов. Численные интерферо- граммы, теневые и шлирен фотографии.
Вычислительная аэродинамика
2
Осенний семестр 2014 г.

Содержание курса
ЧАСТЬ 1.
ВВЕДЕНИЕ. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ
Вычислительная аэродинамика
3
Осенний семестр 2014 г.

Введение
Часть 1
Введение
Зачем нужна гидродинамика? В начале 1950-х годов американский ма- тематик Г. Биркгоф написал в предисловии к своей знаменитой книге
«Гидродинамика»:
«Поскольку гидромеханика включает в себя физику двух из трех самых общих состояний материи — жидкого и газообразного, то излишне объяснять, почему еще одну или даже несколько книг сле- дует посвятить этому предмету».
С тех пор прошло более полувека, многое изменилось и в мире вокруг нас, и в науке, появилось даже новое, четвертое, состояние вещества —
плазма. Оказалось, однако, что и это новое состояние вещества при опре- деленных условиях допускает гидродинамическое описание. Гидродина- мика работает в огромном диапазоне масштабов — от течения крови в мельчайших капиллярах и движения жидкости в микроэлектромехани- ческих устройствах (MEMS) до галактических струй. Общим условием применимости такого континуального описания, при котором среду рас- сматривают как непрерывный континуум, забывая о микроскопической молекулярной структуре жидкостей и газов, является малость
Вычислительная аэродинамика
4
Осенний семестр 2014 г.

Введение
Часть 1
числа Кнудсена Kn — безразмерного параметра, определяемого как отноше- ние средней длины свободного пробега молекул между столкновениями ℓ к характерному размеру L, встречающему в данной задаче:
Kn
= ℓ/L ≪ 1.
Вычислительная аэродинамика
5
Осенний семестр 2014 г.

Введение
Часть 1
Струя газа из активного ядра галактики в созвездии Лебедя
Две симметричные струи горячих быстрых частиц (электрон-позитронной плазмы) генерируются в центральных областях радиогалактики Лебедь А,
содержащих, вероятно, сверхмассивную черную дыру. Распространяясь от источника, струи взаимодействуют с межгалактической средой, что приво- дит к формированию интенсивной ударной волны в межгалактической среде и появлению на концах струй двух ярких радиоисточников.
Вычислительная аэродинамика
6
Осенний семестр 2014 г.

Введение
Часть 1
Некоторые биологические микротечения. Слева направо: кровеносная си-
стема животного, легкие, капилляры в костной ткани, лист растения
Плоское микросопло с шириной
горла 19 мкм. Микрофотогра-
фия и расчетное поле чисел Ма-
ха.
Вычислительная аэродинамика
7
Осенний семестр 2014 г.

Введение
Часть 1
Зачем нужна вычислительная гидродинамика? К сожалению (или к счастью!?) уравнения гидродинамики нелинейны. Это означает, что лишь в очень редких случаях можно найти их аналитическое решение. Таким образом, использование численных методов при решении задач гидро- динамики абсолютно необходимо. Почти фантастически быстрый рост быстродействия и объема памяти ЭВМ, создание все более «умных» ал- горитмов — все это привело к бурному развитию вычислительной гидро- динамики и надеждам, что в не столь далеком будущем компьютерные расчеты заменят дорогостоящие эксперименты в аэродинамических тру- бах. Сегодня программы для расчеты течений жидкостей и газа — это не только наука, это также коммерческий продукт, который активно продает- ся, покупается и используется в очень многих отраслях промышленности.
Вычислительная аэродинамика
8
Осенний семестр 2014 г.

Введение
Часть 1
В чем состоит цель данных лекций? Настоящие лекции посвящены до- вольно узкой области вычислительной гидродинамики — тому, что мож- но назвать вычислительной аэродинамикой сверхзвуковых течений. Эта область является основой для развития авиационной и космической тех- ники. Главной особенностью сверхзвуковых течений является появление газодинамических разрывов — ударных волн и контактных поверхностей.
Следовательно, для численного моделирования подобных течений требу- ются методы, позволяющие приближенно находить такие разрывные ре- шения. Это нетривиальная математическая проблема. В настоящее вре- мя наиболее популярными методами решения подобных задач являются конечноразностные TVD (total variation diminishing) и ENO (essentially non-oscillatory) схемы. О них и будет рассказываться в наших лекциях.
Вычислительная аэродинамика
9
Осенний семестр 2014 г.

Введение
Часть 1
Немного истории
1917 г. Первая попытка Л. Ф. Ричардсона предсказать погоду путем численного решения (вручную!) уравнений в частных производных.
"Пока что я платил за расчет одного координатного узла лапла- сиана по расценке n/18 пенсов, где n — число цифр, с которыми проводятся вычисления. Основная ошибка вычислителей состо- яла в том, что они путали знаки "плюс"и "минус". Что касается скорости расчетов, то один из самых быстрых работников рас- считывал за неделю в среднем 2000 узлов лапласиана с трех- значными числами; ошибочные расчеты не оплачивались."
1950 г. После создания ЭВМ, они были почти немедленно использова- ны для численного решения задач гидромеханики. Для рассматривае- мого нами предмета особый интерес представляет статья Дж. фон Ней- мана и Р. Рихтмайера, в которой они предложили использовать явную искусственную вязкость для расчета течений с ударными волнами. Это было началом развития методов сквозного счета.
Вычислительная аэродинамика
10
Осенний семестр 2014 г.

Введение
Часть 1
1959 г. Первая открытая публикация С. К. Годунова, в которой была описана знаменитая схема Годунова, основанная на решении зада- чи о распаде разрыва. Эта схема и ее почти бесчисленные моди- фикации и модернизации были успешно применены к огромному количеству различных задач. Она лежит в основе практически всех современных методов численного моделирования течений с удар- ными волнами.
"Professor
S.K.Godunov’s work influences all of modern scientific computation
. . . He is perhaps the most influential applied mathematician working in this area for the past forty years"
S. Osher
1983 г. В статье А. Хартена предложены TVD (total variation diminishing) схемы, быстро завоевавшие популярность и являющи- еся сейчас, пожалуй, основным рабочим инструментом, применяе- мым учеными, работающими в области вычислительной аэродина- мики. Именно эти схемы используются и в большинстве известных коммерческих кодов.
Вычислительная аэродинамика
11
Осенний семестр 2014 г.

Введение
Часть 1
Расчет течений с разрывами
• Основной особенностью задач сверхзвуковой аэродинамики является наличие газодина- мических разрывов — ударных волн и контактных поверхностей, что приводит к необ- ходимости введения математической концепции обобщенного (слабого) решения.
• Приближенный расчет таких решений является весьма нетривиальной задачей числен- ного анализа.
Существуют два основных подхода к расчету течений с газодинамическими разрывами:
Метод выделения особенностей. Разрывы выделяются и служат границами расчетной области и внутренними границами, на которых выполняются условия Рэнкина-Гюгонио.
Положение и движение границ определяется в процессе решения. Алгоритм становится очень запутанным, когда рассматриваются течения со сложным взаимодействием раз- рывов (особенно в многомерных задачах).
Метод сквозного счета. Разрывы размазываются искусственной вязкостью на несколь- ко расчетных ячеек. Расчет во всей области ведется по одной и той же схеме. Только такие методы рассматриваются и применяются ниже.
Вычислительная аэродинамика
12
Осенний семестр 2014 г.

Введение
Часть 1
Методы сквозного счета
1950 г. Основная идея методов сквозного счета сформулирована Дж. фон Нейманом и
Р. Рихтмайером.
1953–1959 г. С. К. Годунов предложил метод, основанный на использовании решения задачи о распаде разрыва. Схема Годунова лежит в основе почти современных методов численного моделирования течений с ударными волнами.
1954 г. Схема Лакса (P. Lax).
1960 г. Схема Лакса–Вендроффа (P. Lax & B. Wendroff).
1969 г. Схема Маккормака (R. McCormack).
1960-1970 гг. В СССР сформировались крупные научные школы в области численного решения задач сверхзвуковой аэродинамики:
С. К. Годунова (метод, основанный на решении задачи о распаде разрыва)
Н. Н. Яненко (методы расщепления и дробных шагов)
А. А. Самарского (полностью консервативные разностные схемы)
О. М. Белоцерковского (метод крупных частиц)
Вычислительная аэродинамика
13
Осенний семестр 2014 г.

Введение
Часть 1
Схемы высокого разрешения
1972, 1975 г. В. П. Колганом разработана первая квазимонотонная схе- ма повышенного порядка точности, основанная на принципе минимума значений производных.
1974, 1977, 1979 г. Попытки Б. ван Леера (B. van Leer) построить (ква- зи)монотонную схему второго порядка с помощью ограничения значений производных вблизи разрывов.
1983 г. В статье А. Хартена (A. Harten) предложены TVD (Total Variation
Diminishing) схемы, быстро завоевавшие популярность и являющиеся,
вплоть до настоящего времени, основным инструментом вычислителей,
работающих в области сверхзвуковой аэродинамики.
1987–1996 г. В работах А. Хартена, С. Ошера (S. Osher), Ч.-В. Шу (С.-S.
Shu) и др. развиты ENO (essentially non-oscillatory) и WENO (weighted
ENO) схемы высокого разрешения.Эти схемы могут стать базовым вы- числительным инструментом в новом поколении расчетных программ для решения сложных задач вычислительной аэродинамики.
Вычислительная аэродинамика
14
Осенний семестр 2014 г.

Гиперболические системы уравнений
Часть 1
Гиперболические системы уравнений
• Макроскопические движения сжимаемого газа описываются системой уравнений Навье—Стокса, которые могут быть получены из законов со- хранения массы, импульса и энергии. Если пренебречь входящими в эти уравнения вязкими (диффузионными) членами, оставив только члены, от- ветственные за конвективный перенос и силы нормального давления, то приходим к системе уравнений Эйлера. При численном моделировании основные принципиальные сложности возникают именно при решении этих невязких уравнений. Метод, пригодный для решения уравнений Эй- лера, обычно может быть довольно просто распространен и на уравнения
Навье—Стокса (скажем, аппроксимируя диффузионные члены централь- ными разностями). При решении уравнений Навье–Стокса (особенно при больших числах Рейнольдса) возникают, однако, сложности иного рода,
связанные с наличием тонких пограничных и свободных сдвиговых слоев и турбулизацией течения.
Вычислительная аэродинамика
15
Осенний семестр 2014 г.

Гиперболические системы уравнений
Часть 1
• С математической точки зрения наиболее важной особенностью уравне- ний Эйлера является то, что они составляют гиперболическую систему законов сохранения. Гиперболические уравнения встречаются во многих областях математической физики, фактически они появляются при описа- нии любых физических процессов, для которых характерно распростра- нение информации с конечной скоростью. Важной особенностью гипер- болических уравнений, появляющихся в аэрогидродинамике, является их нелинейность. Таким образом, в этих лекциях будут рассматриваться ме- тоды численного решения нелинейных гиперболических уравнений. Хо- тя изложение будет вестись в основном применительно к уравнениям аэрогидродинамики, большая часть рассматриваемых численных подхо- дов может быть использована (и действительно используется) и при ре- шении гиперболических уравнений, возникающих в других областях на- уки.
Вычислительная аэродинамика
16
Осенний семестр 2014 г.

Гиперболические системы уравнений
Часть 1
Системы законов сохранения
Рассмотрим следующую квазилинейную систему n уравнений от d + 1 неза- висимого переменного:
U
t
+
d

i
=1

F
i
(U)/

x i
= 0,
(1)
где U(x,t) = (u
1
, u
2
, . . . , u n
) ∈ R
n
, (x,t) ∈ R
d
× R, F
i
:
R
n
→ R
n и F
i
∈ C
2
Такая система, записанная в дивергентной форме, называется системой за-
конов сохранения. Она может быть переписана в неконсервативной форме как
U
t
+
d

i
=1
A
i

U
/

x i
= 0,
где
A
i
=

F
i
/

U
(2)
Вычислительная аэродинамика
17
Осенний семестр 2014 г.

Гиперболические системы уравнений
Часть 1
Гиперболические системы законов сохранения
Определение. Система (1) или (2) называется гиперболической в точке (x,t),
если для любого единичного вектора n = (n
1
, . . . , n d
) матрица A = ∑
d i
=1
n i
A
i имеет n вещественных собственных значений
λ
1
, . . . ,
λ
n и соответствующий набор n линейно независимых правых собственных векторов r i
. Она будет строго гиперболической, если все
λ
i различны.
В этом случае матрица A может быть преобразованием подобия приведена к диагональному виду:
A
= RΛR
−1
,
где R = (r
1
, . . . , r n
) — матрица, столбцы которой являются (правыми) соб- ственными векторами матрицы A,
Λ
= diag{
λ
1
, . . . ,
λ
n
} — диагональная матрица, составленная из собственных значений матрицы A.
Вычислительная аэродинамика
18
Осенний семестр 2014 г.

Гиперболические системы уравнений
Часть 1
Уравнения Эйлера
В частности, легко проверить гиперболичность трехмерных (d = 3) уравне- ний Эйлера

U

t
+

F
x

x
+

F
y

y
+

F
z

z
= 0,
U
=






ρ
ρ
u
ρ
v
ρ
w
E






,
F
x
=






ρ
u
ρ
u
2
+ p
ρ
uv
ρ
uw
(E + p)u






,
F
y
=






ρ
v
ρ
uv
ρ
v
2
+ p
ρ
vw
(E + p)v






,
F
z
=






ρ
w
ρ
uw
ρ
vw
ρ
w
2
+ p
(E + p)w






,
p
= (
γ
− 1) E −
ρ
u
2
+ v
2
+ w
2 2
Здесь
ρ
— плотность, u, v и w — компоненты скорости вдоль осей x, y и z,
соответственно, p — давление, E — полная энергия на единицу объема,
γ

показатель адиабаты, равный отношению удельных теплоемкостей при по- стоянном давлении и постоянном объеме (для двухатомных газов в довольно широком диапазоне температур
γ
постоянно и равно 1,4).
Вычислительная аэродинамика
19
Осенний семестр 2014 г.

Гиперболические системы уравнений
Часть 1
Эти уравнения, однако, не являются строго гиперболическими: соответству- ющие собственные значения равны,
λ
1
= u n
− a,
λ
2
,3,4
= u n
λ
5
= u n
+ a.
Здесь u n
= n ·u = n x
u x
+n y
v
+n z
w
— составляющая скорости вдоль единичного вектора n = (n x
, n y
, n z
)
T
, a =
γ
p
/
ρ
— скорость звука. Таким образом одно из собственных значений является троекратно вырожденным.
При построении численных методов для решения задач сверхзвуковой аэро- динамики свойство гиперболичности трехмерных уравнений Эйлера, как это ни странно, практически не используется. Для этих целей гораздо более важ- ным важным является свойство гиперболичности одномерных (d = 1) урав- нений Эйлера.
U
t
+ F
x
= 0,
U
=


ρ
m
E

, F =


m m
2
/
ρ
+ p
(E + p)m/
ρ

,
m
=
ρ
u
,
p
= (
γ
− 1)(E − m
2
/2
ρ
).
Вычислительная аэродинамика
20
Осенний семестр 2014 г.

Гиперболические системы уравнений
Часть 1
Перепишем их в неконсервативной форме:
U
t
+ AU
x
= 0,
A
=

F
/

U
=





0 1
0
γ
− 3 2
u
2
(3 −
γ
)u
γ
− 1
(
γ
− 1)u
3

γ
Eu
ρ
γ
E
ρ

3 2
(
γ
− 1)u
2
γ
u





Проведем для данной системы уравнений соответствующие вычисления,
найдя собственные значения и собственные векторы. Вычисления можно упростить, перейдя от консервативных переменных U к так называемым примитивным переменным W = (
ρ
, u, p).
Очевидно, формулы преобразования имеют вид dU
= KdW,
K
=


1 0
0
u
ρ
0
u
2
/2
ρ
u
1
/(
γ
− 1)

.
Вычислительная аэродинамика
21
Осенний семестр 2014 г.

Гиперболические системы уравнений
Часть 1
Таким образом мы получаем
KW
t
+ AKW
x
= 0,
W
t
+ BW
x
= 0,
B
= K
−1
AK
=


u
ρ
0 0 u 1
/
ρ
0
γ
p u

.
Найдем собственные значения матрицы B.
det
(B −
λ
I
) = (u −
λ
)
3
− (u −
λ
)
γ
p
/
ρ
= 0
λ
1
= u − a,
λ
2
= u,
λ
3
= u + a.
Три полученных собственных значения соответствуют трем модам возму- щений, распространяющимся каждая со своей скоростью. Значение u соот- ветствует возмущениям, распространяющимся со скоростью течения самого газа, то есть неподвижным относительно его частиц, а значения u ± a — воз- мущениям, движущимся относительно газа со скоростью a соответственно влево и вправо, то есть акустическим волнам.
Вычислительная аэродинамика
22
Осенний семестр 2014 г.

Гиперболические системы уравнений
Часть 1
Соответствующие собственные векторы матрицы B равны q
1
=


1
−a/
ρ
a
2

, q
2
=


1 0
0

, q
3
=


1
a
/
ρ
a
2

.
Составленная из них матрица
Q
=


1 1 1
−a 0 a a
2 0 a
2


удовлетворяет матричному уравнению BQ = QΛ, где Λ — диагональная мат- рица, составленная из собственных значений:
Λ
=


u
− a 0 0
0
u
0 0
0 u
+ a

.
Таким образом, матрица B может быть разложена следующим образом (при- ведена к диагональному виду):
B
= QΛQ
−1
Вычислительная аэродинамика
23
Осенний семестр 2014 г.

Гиперболические системы уравнений
Часть 1
Это позволяет преобразовать систему уравнений к так называемому харак- теристическому виду:
W
t
+ QΛQ
−1
W
x
= 0,
V
t
+ ΛV
x
= 0,
dV
= Q
−1
dW
Система в характеристическом виде распадается от отдельные, не связанные друг с другом уравнения для компонент V ≡ (v
1
, v
2
, v
3
)
T
:

v i

t
+
λ
i

v i

x
= 0,
i
= 1, 2, 3.
В характеристической форме одномерные уравнения Эйлера принимают вид:

p

t

ρ
a

u

t
+ (u − a)

p

x

ρ
a

u

x
= 0,

p

t
− a
2
∂ ρ

t
+ u

p

x
− a
2
∂ ρ

x
= 0,

p

t
+
ρ
a

u

t
+ (u + a)

p

x
+
ρ
a

u

x
= 0.
Вычислительная аэродинамика
24
Осенний семестр 2014 г.

Гиперболические системы уравнений
Часть 1
Вернемся теперь к исходным консервативным переменным
U
t
+ AU
x
= 0.
Поскольку B = K
−1
AK
, то из уравнения BQ = QΛ следует, что
A
(KQ) = (KQ)Λ.
Таким образом, переход от консервативных к примитивным переменным не изменяет собственных значений. Что же касается собственных векторов, то матрица собственных векторов для системы в консервативных переменных
R
= (r
1
, r
2
, r
3
)
T
получается из матрицы Q простым умножением на Q: R = KQ.
Это дает r
1
=


1
u
− a
H
− ua

, r
2
=


1
u u
2
/2

, r
3
=


1
u
+ a
H
+ ua


Здесь H =
E
+ p
ρ

u
2 2
+
γ
p
(
γ
− 1)
ρ
— так называемая полная энтальпия.
Вычислительная аэродинамика
25
Осенний семестр 2014 г.

Гиперболические системы уравнений
Часть 1
Другие примеры гиперболических уравнений
• Самое, пожалуй, известное гиперболическое уравнение — это волновое уравнение, описывающее распространение света и звука:
u tt
= c
2

2
u
= c
2
(u xx
+ u yy
+ u zz
).
В одномерном случае u tt
= c
2
u xx
, или


t
+ c


x


t
− c


x u
= 0,
v t
+ cv x
= 0
u t
− cu x
= v
Таким образом, одномерное волновое уравнение можно переписать как систему двух уравнений первого порядка.
• Самое простое гиперболическое уравнение — уравнение переноса u
t
+ au x
= 0.
Как следует из выписанной выше «факторизации» одномерного волно- вого уравнения, оно фактически эквивалентно системе двух уравнений переноса, описывающих распространение волн, соответственно, вправо и влево.
Вычислительная аэродинамика
26
Осенний семестр 2014 г.

Гиперболические системы уравнений
Часть 1
• Очень полезным гиперболическим уравнением является невязкое урав- нение Бюргерса (его еще называют уравнением Хопфа):
u t
+ uu x
= 0.
В отличие от волнового уравнения и уравнения переноса, оно нелинейно.
Важность уравнения Бюргерса заключается в том факте, что оно является полезным примером, иллюстрирующим многие проблемы, возникающие при решении более сложных нелинейных гиперболических уравнений, в частности уравнений газовой динамики. В дальнейшем мы будем часто его использовать в данном качестве.
Стационарные уравнения Эйлера для сверхзвукового течения также яв- ляются гиперболическим (в то время как для дозвукового течения - эл- липтическими). Это позволяет использовать при расчете чисто сверхзву- ковых невязких течений т. н. маршевые методы, в которых стационар- ные уравнения интегрируются вдоль одной из координат точно так же,
как нестационарные уравнения интегрируются по времени.
Вычислительная аэродинамика
27
Осенний семестр 2014 г.

Гиперболические системы уравнений
Часть 1
• Уравнения мелкой воды, описывающие распространение длинных волн на поверхности тонкого слоя жидкости при наличии силы тяжести. Эти уравнения совпадают с изэнтропическими уравнениями Эйлера при по- казателе адиабаты
γ
= 2.
• Уравнения Максвелла, описывающие распространение электромагнит- ных волн.
• Уравнения теории упругости, описывающие волны в деформируемом твердом теле.
• Уравнения идеальной магнитной газовой динамики, описывающие, при некоторых предположениях, движение проводящего газа (или плазмы) в магнитном поле.
• . . . А также многие, многие другие!. Таким образом, значение тех числен- ных методов, что мы будем изучать, выходит за пределы вычислительной аэродинамики. Они могут быть использованы (и действительно, исполь- зуются), во многих областях науки, всюду, где встречаются системы ги- перболических уравнений.
Вычислительная аэродинамика
28
Осенний семестр 2014 г.

Разрывные решения
Часть 1
Разрывные решения
Рассмотрим задачу Коши для скалярного закона сохранения
u t
+ f (u)
x
= 0,
u
(0, x) =
φ
(x),
−∞ < x < ∞, t > 0.
Два примера:
u t
+ au x
= 0,
f
(u) = au — линейное уравнение переноса,
u t
+ uu x
= 0,
f
(u) = u
2
/2 — невязкое уравнение Бюргерса.
Проинтегрировав от x = a до x = b, получаем интегральную форму
d dt b
a u
(x,t) dx = f (u(t, a)) − f (u(t,b)).
Отсюда следует, что величина b
a u
(x,t) dx изменяется с течением времени только за счет потоков через границы интер- вала [a,b]. Если эти потоки равны нулю, то она сохраняется. Это объясняет,
почему такие уравнения называют законами сохранения.
Вычислительная аэродинамика
29
Осенний семестр 2014 г.

Разрывные решения
Часть 1
Продифференцировав f по x, получаем неконсервативную форму u
t
+ a(u) u x
= 0,
где a(u) = f

(u).
Как можно построить решение задачи Коши для скалярного закона сохра- нения? Чтобы ответить на этот вопрос, начнем со случая, когда величина a постоянна, то есть с уравнения переноса.
Решение линейного уравнения переноса:
u
(x,t) =
φ
(x − at).
Действительно,

u

t
+ a

u

x
=

u

t
+
dx dt

u

x
=
du dt
= 0,
если dx dt
= a.
Чтобы распространить это на случай нелинейного закона сохранения, введем понятие характеристик.
Вычислительная аэродинамика
30
Осенний семестр 2014 г.

Разрывные решения
Часть 1
Характеристики
Характеристики — это кривые в плоскости x,t, определенные уравнением dx
(t)
dt
= a(u(t, x(t))).
Если решение u(t,x) дифференцируемо, то, как легко убедиться, оно посто- янно вдоль характеристик.
du
(t, x(t))
dt
= u t
+
dx
(t)
dt u
x
= u t
+ a(u) u x
= 0.
Следовательно, в этом случае решение задачи Коши дается неявной форму- лой u
=
φ
(x − a(u) t).
Это легко проверяется прямым вычислением производных и их подстанов- кой в уравнение.
Вычислительная аэродинамика
31
Осенний семестр 2014 г.

Разрывные решения
Часть 1
Именно,
u t
=
φ

· (−a − tu t
a

)

u t
= −
a
φ

1
+
φ

a

t
,
u x
=
φ

· (1 − tu x
a

)

u x
=
φ

1
+
φ

a

t
Полученная формула, несмотря на неявный вид, вполне пригодна для вы- числения решения. Для этого обычно достаточно использовать простой ите- рационный метод, подставляя в правую часть значение u с предыдущей ите- рации.
Что, однако, случится, если знаменатель (1 +
φ

a

t
) обратится в нуль? Чтобы ответить на этот вопрос, начнем с простого примера.
Вычислительная аэродинамика
32
Осенний семестр 2014 г.

Разрывные решения
Часть 1
Нарушение гладкости решения
Рассмотрим следующую задачу Коши для невязкого уравнения Бюргерса u
t
+ (u
2
/2)
x
= 0,
u
(0, x) = sin(x),
−∞ < x < ∞, t > 0.
В данном случае наклон характеристик a(u) = u. В начальный момент вре- мени в точке x =
π
/2 u = 1, тогда как в точке x = 3
π
/2 u = −1. Поскольку значение u вдоль характеристик не меняется, то не меняется и их наклон,
так что характеристики — прямые линии.
x u = 1
u = -1
???
t
Вычислительная аэродинамика
33
Осенний семестр 2014 г.

Разрывные решения
Часть 1 0
50 100 150 200 250 300
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 50 100 150 200 250 300
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 50 100 150 200 250 300
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
= 0
t
= 0, 1
t
= 0, 5
• Таким образом, даже если начальные данные бесконечно гладкие, в про- цессе эволюции может наступить такой момент, когда производная ре- шения нелинейного закона сохранения обратиться в некоторой точке в бесконечность (градиентная катастрофа).
• Если начальные данные
φ
(x) гладкие, и
φ

(x) где-то отрицательно, то в процессе эволюции гладкость нарушается впервые в момент времени
T
=
−1
min
φ

(x)
Вычислительная аэродинамика
34
Осенний семестр 2014 г.

Разрывные решения
Часть 1
Понятие слабого решения
Итак, при решении нелинейных гиперболических уравнений мы не можем избежать рассмотрения разрывных решений. Классическое понятие решения для них не годится. Как можно его обобщить?
Естественный путь определить обобщенное решение, которое может иметь разрывы — это обратиться к интегральной форме закона сохранения. Введем гладкие пробные функции c ограниченным носителем
η
(x,t) ∈ C
1 0
(
R×R
+
),
т.е. обращающиеся в нуль для всех достаточно больших x,t: |x| > X,t > T.
Умножая закон сохранения на
η
(x,t) и интегрируя над полуплоскостью t > 0,
получаем

0

−∞
η
(U
t
+ F
x
)dxdt = 0.
Этот интеграл можно преобразовать с помощью интегрирования по частям,
так что все дифференцирования перенесутся на пробные функции. Таким образом приходим к понятию слабого решения.
Вычислительная аэродинамика
35
Осенний семестр 2014 г.

Разрывные решения
Часть 1
Определение. Слабое решение системы законов сохранения — это вектор- функция U(x,t), удовлетворяющая соотношению

0

−∞
η
t
U
+
η
x
F
(U) dxdt +

−∞
η
(0, x)U
0
dx
= 0,
для всех пробных функций
η
∈ C
1 0
. Здесь U
0
= U(x, 0).
Замечание. Осторожно — следуют помнить, что одному и тому же урав- нению, записанному в неконсервативной форме, может соответствовать несколько законов сохранения, например
(1)
u t
+ (u
2
/2)
x
= 0
и
(2)
(u
2
/2)
t
+ (u
3
/3)
x
= 0
для u
t
+ uu x
= 0.
Им будут соответствовать разные слабые решения! Приведенные выше опре- деления вводятся именно для закона сохранения.
Вычислительная аэродинамика
36
Осенний семестр 2014 г.

Разрывные решения
Часть 1
Соотношения Рэнкина-Гюгонио
Оказывается, значения решения на двух сторонах разрыва не могут быть полностью произвольными. Они связаны определенными соотношениями.
Рассмотрим разрыв решения, движущийся со скоростью s. Пусть траектория движения разрыва суть x(t), значение u слева о разрыва обозначим u
L
, справа от разрыва — u
R
. Интегральную форму закона сохранения d
dt b
a u
(x,t) dx = f (u(t, a)) − f (u(t,b))
можно переписать как d
dt x
(t)
a u
(x,t) dx +
b x
(t)
u
(x,t) dx = f (u(t, a)) − f (u(t,b)).
Выполним дифференцирование по времени, используя для этого формулу дифференцирования интеграла с переменными пределами интегрирования.
Вычислительная аэродинамика
37
Осенний семестр 2014 г.

Разрывные решения
Часть 1
x
(t)
a u
t dx
+ u(t, x(t) −
ε
) x

(t) +
b x
(t)
u t
dx
− u(t,x(t) +
ε
) x

(t) =
f
(u(t, a)) − f (u(t,b)).
Подставив u t
= − f x
и выполняя интегрирование, получаем f
(u(t, a)) − f (u(t,x(t) −
ε
)) + u(t, x(t) −
ε
) x

(t) +
f
(u(t, x(t) +
ε
)) − f (u(t,b)) − u(t,x(t) +
ε
) x

(t) =
f
(u(t, a)) − f (u(t,b)).
Подставив s
= x

(t),
u
L
= u(t, x(t) −
ε
),
u
R
= u(t, x(t) +
ε
)
окончательно получаем s
(u
L
− u
R
) = f (u
L
) − f (u
R
) .
Это и есть соотношения Рэнкина–Гюгонио.
Вычислительная аэродинамика
38
Осенний семестр 2014 г.

Разрывные решения
Часть 1
В частности, для невязкого уравнения Бюргерса u
t
+ (u
2
/2)
x
= 0
имеем s
=
f
L
− f
R
u
L
− u
R
=
u
2
L
/2 − u
2
R
/2
u
L
− u
R
=
u
L
+ u
R
2
Однако, если бы мы записали его как
(u
2
/2)
t
+ (u
3
/3)
x
= 0,
то получили бы s
=
u
3
L
/3 − u
3
R
/3
u
2
L
/2 − u
2
R
/2
=
2 3
u
2
L
+ u
L
u
R
+ u
2
R
u
L
+ u
R
Вычислительная аэродинамика
39
Осенний семестр 2014 г.

Разрывные решения
Часть 1
Потеря единственности
Введя понятие слабого решения, мы приобрели, однако, некоторые пробле- мы. В частности, мы потеряли единственность решения задачи Коши.
Пример 1. Рассмотрим задачу u
t
+ (u
2
/2)
x
= 0,
−∞ < x < ∞, t > 0,
u
(x, 0) =
0
, x < 0 1
, x > 0
Два обобщенных решения этой задачи:
u
1
(x,t) =
0
, x < t/2 1
, x > t/2
u
2
(x,t) =



0
,
x
< 0
x
/t, 0 ≤ x ≤ t
1
x
> t
Одинаково ли удовлетворительны оба эти решения?
Вычислительная аэродинамика
40
Осенний семестр 2014 г.

Разрывные решения
Часть 1
Чтоб ответить на этот вопрос, рассмотрим первое решение подробнее.
Ниже показаны характеристики в плоскости x,t для этого решения.
x t
Скачок движется со скоростью s = 1/2. Решение u
1
неудовлетворительно:
оно неустойчиво к возмущениям и не определяется полностью начальными данными. «Правильным» решением является u
2
Вычислительная аэродинамика
41
Осенний семестр 2014 г.

Разрывные решения
Часть 1
Пример 2. Задача u
t
+ (u
2
/2)
x
= 0,
−∞ < x < ∞, t > 0,
u
(x, 0) =
1
, x < 0 0
, x > 0
имеет решение u
(x,t) =
1
, x < t/2 0
, x > t/2
x t
Скачок также движется со скоростью s = 1/2. Это решение со сходящими- ся характеристиками удо- влетворяет всем разум- ным требованиям.
Вычислительная аэродинамика
42
Осенний семестр 2014 г.

Разрывные решения
Часть 1
Энтропийное условие
Таким образом, решения в которых характеристики выходят из разрыва неудовлетворительны и должны быть отброшены. Характеристики должны входить в разрыв с обеих сторон. Чтобы исключить неудовлетворительные решения и восстановить единственность, введем так называемое энтропий-
ное условие.
Предположим, что функция f (u) выпуклая: f
′′
(u) > 0. Тогда разрыв с левым значением u
L
и правым u
R
будет удовлетворять энтропийному условию, если f

(u
L
) > s > f

(u
R
).
Задача Коши для закона сохранения с выпуклой функцией потока f (u) и произвольными интегрируемыми начальными данными имеет единственное слабое решение в классе функций, удовлетворяющих энтропийному усло- вию на всех скачках.
Вычислительная аэродинамика
43
Осенний семестр 2014 г.

Разрывные решения
Часть 1
f(u)
u u l u r
Если функция f (u) не является выпуклой (см. рисунок), то энтропийное условие формулируется более сложным образом:
f
(u
L
) − f (u)
u
L
− u

f
(u
R
) − f (u
L
)
u
R
− u
L
для всех u ∈ [u
L
, u
R
] или [u
R
, u
L
]
Вычислительная аэродинамика
44
Осенний семестр 2014 г.

Разрывные решения
Часть 1
Альтернативный путь введения энтропийного условия связан с рассмотре- нием уравнения с вязкостью u
t
+ f (u)
x
=
ε
u xx
,
ε
> 0.
Слабое решение невязкого уравнения можно тогда ввести как предел при
ε
→ 0 решений вязкого уравнения (последние всегда гладкие).
Пусть E(u) — некоторая строго выпуклая (E
′′
(u) > 0) функция (энтропийная функция). Умножим вязкое уравнение на E

(u):
E

(u) u t
+ E

(u) f (u)
x
= E

(u)
ε
u xx

E
(u)
t
+ F(u)
x
=
ε
E

(u) u xx
,
где F

(u) = E

(u) f

(u)
Далее
E
(u)
xx
= [E

(u) u x
]
x
= E
′′
(u) (u x
)
2
+ E

(u) u xx
,
E
(u)
t
+ F(u)
x
=
ε
[E(u)
xx
− E
′′
(u) (u x
)
2
] ≤
ε
E
(u)
xx
Вычислительная аэродинамика
45
Осенний семестр 2014 г.

Разрывные решения
Часть 1
При
ε
→ 0, получаем
E
(u)
t
+ F(u)
x
≤ 0 .
Таким образом,
d dt

−∞
Edx
≤ 0.
• Отметим, что энтропийное условие (в обеих формулировках) нарушает симметрию по отношению к обращению времени.
• Действительно, при замене t на −t характеристики, входящие в разрыв превращаются в характеристики, выходящие из него.
• При введении вязкости, симметрии по отношению к обращению времени мешает член, включающий вторую производную по времени. В отличие от двух других он не меняет знак при замене t на −t и x на −x.
• Энтропийное условие является одним из проявлений второго начала тер- модинамики. В данном случае оно обеспечивает положительность всех диссипативных коэффициентов.
Вычислительная аэродинамика
46
Осенний семестр 2014 г.

Задача о распаде разрыва
Часть 1
Задача о распаде разрыва
Рассмотрим следующую задачу с начальными данными:
U
t
+ F(U)
x
= 0,
U
(x, 0) =
U
L
, x < 0
U
R
, x > 0
Такая задача с начальными данными, содержащими один разрыв, слева и справа от которого решение постоянно, называется задачей о распаде раз-
рыва или задачей Римана.
Если одновременно умножить x и t на некоторую константу, то система урав- нений и начальные данные сохранят свой вид. Следовательно, решение за- дачи Римана должно быть автомодельным: оно зависит не от x и t в отдель- ности, а только от комбинации x/t:
U
= U(x/t).
Со времен работы Годунова (1959 г.) решение задачи Римана постоянно ис- пользуется при построении численных методов решения гиперболических систем уравнений. Поэтому мы рассмотрим его достаточно подробно, начав с линейных систем и обобщив потом на общий нелинейный случай.
Вычислительная аэродинамика
47
Осенний семестр 2014 г.

Задача о распаде разрыва
Часть 1
Задача Римана для линейных систем. Пример
Начнем с рассмотрения простого примера.
u
1
u
2
t
+
0 1 1 0
u
1
u
2
x
=
0 0
,
u
1
(x, 0) = 0,
u
2
(x, 0) =
2
, x < 0 0
, x ≥ 0
Собственные значения и векторы матрицы
A
=
0 1 1 0
равны
λ
1
= 1, r
1
=
1 1
,
λ
2
= −1, r
2
=
1
−1
,
R
=
1 1 1
−1
Система распадется на два независимых уравнений, если привести матрицу
A
к диагональной форме.
Вычислительная аэродинамика
48
Осенний семестр 2014 г.

Задача о распаде разрыва
Часть 1
Введем для этого характеристические переменные
U
t
+ AU
x
= 0,
W
= R
−1
U
,
w
1
w
2
= R
−1
u
1
u
2
=
1 2
u
1
+ u
2
u
1
− u
2
Тогда
R
−1
U
t
+ R
−1
ARR
−1
U
= 0,
Λ
= R
−1
AR
=
1 0 0
−1
,
W
t
+ Λ W
x
= 0,
w
1t
+
λ
1
w
1x
= 0,
w
2t
+
λ
2
w
2x
= 0.
Следовательно решение в характеристических переменных имеет вид w
k
= w
0
k
(x −
λ
k t
),
k
= 1, 2
Вычислительная аэродинамика
49
Осенний семестр 2014 г.

Задача о распаде разрыва
Часть 1
Начальные данные w
0
k легко вычисляются из u
1
(x, 0), u
2
(x, 0):
w
0 1
= w
1
(x, 0) =
1
, x < 0 0
, x ≥ 0
,
w
0 2
= w
2
(x, 0) =
−1, x < 0 0
,
x
≥ 0
,
что дает w
1
(x,t) =
1
, x − t < 0 0
, x − t ≥ 0
,
w
2
(x,t) =
−1, x + t < 0 0
,
x
+ t ≥ 0
Производя обратное преобразование к примитивным переменным,
окончательно получаем u
1
(x,t) =



0
, x < −t
1
, −t ≤ x ≤ t
0
, x ≥ t
,
u
2
(x,t) =



2
, x < −t
1
, −t ≤ x ≤ t
0
, x ≥ t
Вычислительная аэродинамика
50
Осенний семестр 2014 г.

Задача о распаде разрыва
Часть 1
Начальные данные
x
u
1
x
u
2
Примитивные переменные
x
w
1
x
w
2
Характеристические переменные
Вычислительная аэродинамика
51
Осенний семестр 2014 г.

Задача о распаде разрыва
Часть 1
Решение
x
w
1
x
w
2
Характеристические переменные
x
1
u
x
u
2
Примитивные переменные
Вычислительная аэродинамика
52
Осенний семестр 2014 г.

Задача о распаде разрыва
Часть 1
Задача Римана для линейных систем. Общий случай
U
t
+ A U
x
= 0,
U
(x, 0) =
U
L
, x < 0
U
R
, x > 0
Пусть A = RΛR
−1
. Перейдем к характеристическим переменным W = R
−1
U
и обозначим w
0
k
(x) =
w kL
, x < 0
w kR
x
> 0
Тогда решение можно записать как
U
(x,t) =
n

k
=1
w
0
k
(x −
λ
k t
) r k
Если
λ
1
<
λ
2
. . . <
λ
n
, то
U
(x,t) =
q

k
=1
w kR
r k
+
n

k
=q+1
w kL
r k
= U
L
+
q

k
=1
(w kR
− w kL
) r k
,
λ
q
< x/t <
λ
q
+1
Вычислительная аэродинамика
53
Осенний семестр 2014 г.

Задача о распаде разрыва
Часть 1
Структура решения иллюстрируется следующим рисунком:
2
U
R
3 1
U
L
U
t
U
U
x
Как видно, оно состоит из разделенных разрывами областей, в которых все искомые величины постоянны. В области с номером q решение равно
U
q
= U
L
+
q

k
=1
(w kR
− w kL
) r k
U
0
= U
L
,
U
n
= U
R
Вычислительная аэродинамика
54
Осенний семестр 2014 г.

Задача о распаде разрыва
Часть 1
Нелинейные системы
Рассмотрим теперь нелинейную систему законов сохранения u
t
+ f(u)
x
= 0,
Здесь u(x,t), f(u) — вектор-функции, имеющие n компонент.
Матрица Якоби
A
=

f
/

u
Собственные значения
λ
1
(u) <
λ
2
(u) < . . . <
λ
n
(u).
Собственные векторы r
1
(u), r
2
(u), . . . , r n
(u).
Вычислительная аэродинамика
55
Осенний семестр 2014 г.

Задача о распаде разрыва
Часть 1
Условие выпуклости f
′′
(u) = 0 обобщается на системы как:
• k-ое характеристическое поле (семейство характеристик) называется ис-
тинно нелинейным, если r
T
k

u
λ
k
(u) = 0
для всех u.
Для линейного скалярного уравнения f
′′
(u) = 0. Аналогом этого условия яв- ляется следующее
• k-ое характеристическое поле (семейство характеристик) называется ли-
нейно вырожденным, если r
T
k

u
λ
k
(u) = 0
для всех u.
Здесь ∇
u a
=

a

u
1
, . . . ,

a

u n
Вычислительная аэродинамика
56
Осенний семестр 2014 г.

Задача о распаде разрыва
Часть 1
Ударные волны, волны разрежения и контактные разрывы
Обсудим далее три типа решений:
1. Ударные волны
2. Волны разрежения
3. Контактные разрывы
x
t
1
2
3
4
S
C
EF
Вычислительная аэродинамика
57
Осенний семестр 2014 г.

Задача о распаде разрыва
Часть 1
Ударные волны
Пусть k — истинно нелинейное характеристическое поле. Разрыв называется ударной волной в k-ом характеристическом поле, если выполняются условия
Рэнкина-Гюгонио s
(u
L
− u
R
) = f(u
L
) − f(u
R
),
и имеют место равенства
λ
k
(u
L
) > s >
λ
k
(u
R
),
λ
k
−1
(u
L
) < s <
λ
k
+1
(u
R
)
Набор состояний u
R
, которые могут быть связаны с u
L
через ударную вол- ну в k-ом характеристическом поле образует гладкое однопараметрическое семейство u
R
= u(p), −p
0
≤ p ≤ 0, u
R
(0) = u
L
s

(p)(u
L
− u
R
) − s(p)u

R
(p) = −

f
/

u
(u) u

R
(p)
A
(u
L
) u

R
(0) = s(0)u

R
(0)

u

R
(0) = c r k
(u
L
), s(0) =
λ
k
(u
L
)
Вычислительная аэродинамика
58
Осенний семестр 2014 г.

Задача о распаде разрыва
Часть 1
Волны разрежения
Волны разрежения находятся как автомодельные решения u(x,t) = b(x/t) =
b
(
ξ
).

x t
2
b

+
1
t
A
(b) b

= 0

(A(b) −
ξ
) b

= 0.
Отсюда решение выражается через собственные значения и собственные векторы:
ξ
=
λ
(b(
ξ
)) b

= cr(b).
Используя то, что поле истинно нелинейное, можно показать, что c = 1.
Для заданного состояния u
L
можно решить обыкновенное дифференциаль- ное уравнение b

(
ξ
) = r(b(
ξ
)),
ξ
0

ξ

ξ
0
+ p,
ξ
0
=
λ
b
(
ξ
0
).
Состояние u
R
= b(
ξ
0
+ p) связано с u
L
= b(
ξ
0
) через волну разрежения в k-ом характеристическом поле.
Вычислительная аэродинамика
59
Осенний семестр 2014 г.

Задача о распаде разрыва
Часть 1
x t
x u
1
Волна разрежения в плоскости x,t.
Изменение одной из величин.
Вычислительная аэродинамика
60
Осенний семестр 2014 г.

Задача о распаде разрыва
Часть 1
Истинно нелинейное поле
Итак, если k-ое поле является истинно нелинейным, тогда для заданного состояния u
L
существует однопараметрическое семейство состояний, u
R
=
u
(p), −p
0
≤ p ≤ p
0
которые могут быть связаны с u
L
посредством ударной волны p ≤ 0 или волны разрежения p ≥ 0.
2-R
2-S
u
L
u
2
u
1 1-R
1-S
Вычислительная аэродинамика
61
Осенний семестр 2014 г.

Задача о распаде разрыва
Часть 1
Римановы инварианты
k
-инвариант Римана — гладкая скалярная функция w(u
1
, . . . , u n
), такая что r
T
k

u w
= 0.
Существует (n − 1) k-инвариантов Римана с линейно независимыми гради- ентами.
Векторное поле r
T
k

u
=
n

i
=1
r i
(u)


u i
может быть координатным преобразованием v = v(u) приведено к виду


v
1
,
и мы выберем w
1
(v) = v
2
, . . . , w n
−1
(v) = v n
Тогда функции w i
, i = 1, . . . , n − 1 удовлетворяют уравнению

w i

v
1
= 0
Вычислительная аэродинамика
62
Осенний семестр 2014 г.

Задача о распаде разрыва
Часть 1
и имеют линейно независимые градиенты. Обратное преобразование дает функции w i
(u), которые обладают желаемыми свойствами.
k
-инварианты Римана постоянны в волне разрежения в k-ом характеристи- ческом поле.
Решение в волне разрежения удовлетворяет соотношению u

(
ξ
) = r k
(u(
ξ
)).
Пусть w — k-инвариант Римана. Тогда dw
/d
ξ
= 0,
и w постоянна в волне разрежения.
Отсюда получаем следующие соотношения для двух состояний, связанных волной разрежения в характеристическом поле:
w i
(u
L
) = w i
(u
R
)
i
= 1, . . . , n − 1.
Вычислительная аэродинамика
63
Осенний семестр 2014 г.

Задача о распаде разрыва
Часть 1
Контактные разрывы
Пусть поле k линейно вырождено. Определим кривую u(p) так, чтобы du
(p)
d p
= r k
(u(p)).
Собственное значение постоянно вдоль этой кривой, поскольку из линейной вырожденности следует, что d
λ
k
(u)
d p
=
du d p

u
λ
k
= 0.
Состояния на кривой u(p) могут быть связаны с u
L
через разрыв, движу- щийся со скоростью s =
λ
k
(u
L
) =
λ
k
(u(p)):
G
(u(p)) = f(u(p)) − su(p)

dG
d p
= (A(u(p)) − s)
du d p
= 0.
Вычислительная аэродинамика
64
Осенний семестр 2014 г.

Задача о распаде разрыва
Часть 1
Отсюда f
(u(p)) − su(p) = const = f(u
L
) − su
L
,
и условия Рэнкина-Гюгонио удовлетворяются.
Такие разрывы называются контактными разрывами. Соответствующие характеристики параллельны контактному разрыву. Такие волны во многом подобны решениям линейного уравнения u t
+ au x
= 0 с разрывом в началь- ных данных.
Вычислительная аэродинамика
65
Осенний семестр 2014 г.

Задача о распаде разрыва
Часть 1
Задача Римана для нелинейных гиперболических систем
u t
+ f(u)
x
= 0,
u
(x, 0) =
u
L
x
< 0
u
R
x
> 0
u
L
u
1
t u
2
u
R
1-shock
3-shock
2-rarefaction x
Вычислительная аэродинамика
66
Осенний семестр 2014 г.

Задача о распаде разрыва
Часть 1
Задача Римана для нелинейных гиперболических систем
u
L
2-s
1-r
1-s
2-r u
M
u
R
1-s
2-r
2-s
1-r u
1
u
2
u x
t u
L
1-shock
M
u
R
2-rarefaction x
u u
u
L
M
u
R
Вычислительная аэродинамика
67
Осенний семестр 2014 г.

TVD схемы
Часть 2

Каталог: pdf
pdf -> Российская академия медицинских наук научные советы по комплексным проблемам медицины
pdf -> Министерство здравоохранения кыргызской республики острая сердечная недостаточность
pdf -> Остеохондроз и его предупреждение На вопрос: «что такое остеохондроз?»
pdf -> Свч инновационные технологии
pdf -> Мёд башкирский 2 Иммунная система и мёд 2
pdf -> Программа конференции с международным участием «современные аспекты диагностической и лечебной эндоскопии»
pdf -> Методическая разработка Формирование представления о здоровом образе жизни среди студентов общежития
pdf -> Медикаментозное лечение острой сердечной недостаточности: позиции левосимендана


Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3   4


База данных защищена авторским правом ©zodorov.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница