Философские проблемы математики



страница13/13
Дата01.05.2016
Размер1.32 Mb.
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13

общеизвестен и является "частью традиционного фольклора математиков" (12, с.135).

Его интерпретация столь же общепринята: "духи исчезающих величин" (выражение Дж. Беркли),

бродившие по страницам математических сочинений той эпохи, были элиминированы в

"эпоху строгости". Изгнание духов было начато О. Коши и завершено К.Вейерштрассом.

В таком виде данный исторический эпизод становится убедительной иллюстрацией

рассуждений Р.Карнапа. Последний утверждал, что изобретатели исчисления

бесконечно малых Ньютон и Лейбниц знали, как решать проблемы анализа, но не

знали, как их правильно формулировать, вследствие чего формулировали их в

метафизическом виде. Например, они знали, что производная от функции х2 равна 2х,

но не знали, что означает выражение "производная функции". Выяснения этого

пришлось ждать целое столетие; зато результатом явилось избавление математики от

бессмысленных метафизических фраз типа "бесконечно малое количество".
"Но эта версия попросту ложна" (12, с.135): Лейбниц и Ньютон знали, как

формулировать проблемы, но их язык отличался от языка "эпсилон - дельты".


Лазарь Карно, математик, а во времена Великой Французской революции - генерал,

не колеблясь, назвал создание исчисления бесконечно малых революцией. В

настоящее время мы, замечает автор, гораздо менее склонны говорить о революциях

в истории математики, ибо представляется очевидным, что в ходе революции что-нибудь

должно быть отменено или уничтожено, а с математикой такого не происходит.

Однако революцию можно понимать и иным, более сложным образом: "Сложность

математических революций и является предметом настоящей статьи" (12, с. 138).
Как в математике, так и в государстве есть то, что можно назвать "парадигмой

законности". Революции суть переходы от одной "парадигмы законности" к другой (автор

ссылается тут на автора теории катастроф, известного французского математика Рене Тома), Этот переход

может быть весьма болезненным и включать в себя период "вакуума законности",

когда старая парадигма потеряла силу, а новая ее еще не обрела. Тогда

утверждается диктатура на фоне попыток реставрации старого режима. Описание

кризиса старой парадигмы законности у Р.Тома (массовая потеря доверия к ней)

похоже, по мнению автора, на описание кризиса научной парадигмы у Т.Куна и

подходит для описания истории исчисления бесконечно малых. "Геометрическая

строгость древних" играла ту же роль, что парадигма законности для английской

монархии эпохи Стюартов. Вначале сама монархия не ставилась под сомнение, -

объектами неприятия становились только некоторые обусловленные данной парадигмой

ограничения. По то мере того, как они ужесточались, усиливалось неприятие всей

парадигмы. Аналогично,"геометрическая строгость древних" поначалу признавалась даже теми, кто в своей

практике на самом деле нарушал ее. Лишь по мере углубления кризиса стали

раздаваться голоса, что эта парадигма не так уж хороша и что даже сам Архимед

втайне рассуждал по-другому. Конфликт привел к открытому взрыву со стороны

защитников "новой геометрии". Как и в случае политической революции, новые "властные

структуры" получали свою легитимность от самого механизма революции. Вследствие

этого, они оказались в наибольшей опасности как раз в момент завершения

революции. Именно тогда, когда старая парадигма побеждена, все больше и больше

людей начинают ставить под вопрос основания новой и ставить под сомнение ее

корректность. В истории математики таким "контрреволюционером" был Дж,Беркли.
Проблема HP в истории математики затрагивается не только в сборнике (25). Так, Э,

Кении (Университет Уилкса, США) в статье (16) анализирует введенное Т, Куном

понятие HP и его применимость к реконструкции истории математики. О "революционных

идеях" или "революционных открытиях" в математике говорят часто. Классическими

примерами тут являются появление неевклидовой геометрии или признание

комплексных чисел и последующая эволюция алгебры. Но что именно имеют в виду, употребляя эпитет "революционный"?


Майкл Кроу предлагал различать "трансформирующие" и "формирующие" научные

открытия. Первые приводят к перестройке ранее признанных теорий, а вторые - к

появлению новых теорий наряду со старыми.
Математика, как подчеркивает Кении, имеет ряд черт, общих с эмпирическими

науками, но в ряде аспектов существенно отличается от них. Поэтому в ее истории

происходили события, имеющие некоторые черты HP, но они не соответствуют всему

содержанию куновского понятия. В терминологии Кроу, это формационные, а не

трансформационные события. Кении конкретизирует свой тезис на примере введения

комплексных чисел. Это событие часто описывается как революционное. И в самом

деле, борьба вокруг признания комплексных чисел продолжалась в математическом

сообществе с XVI в. до начала XIX в. В результате сформировался новый

абстрактный подход к алгебре, произошел концептуальный сдвиг от уравнений и их

решений к исследованию абстрактных алгебраических структур. Это можно было бы

при желании назвать "концептуальной революцией", но это не HP в смысле Куна,

поскольку, как утверждает Кении, "новые взгляды на алгебру не вытеснили старые

полностью" (16, с. 121).
Настоящий краткий обзор показывает, что позиции определены, аргументы приведены,

но столкновение мнений продолжается, ибо вопрос является не фактологическим, а

мировоззренческим. Все упирается в понимание различными авторами того, что

является неотъемлемой составной частью самой математики, а что лежит "около" или



"вокруг".

1 Открытие иррациональности традиция приписывает пифагорейскому математику первой половины V века до н.э. Гиппасу. Существует несколько реконструкций первоначального доказательства иррациональности. Так, К. фон Фриц полагал, что Гиппас открыл иррациональности при построении додекаэдра (см.[14], с.82). Достаточно убедительной является концепция венгерского историка математики А.Сабо (см.[15]), в которой показывается, что подходы к открытию несоизмеримостей были намечены в процессе решения одной из проблем музыкальной теории пропорций.

2Недавно заново обретенный и прочитанный международной группой исследователей «Палимпсест Архимеда» содержит ряд ранее неизвестных теорем и доказательств, в частности положение 14 «Метода», где Архимед находит объем цилиндрического сегмента и, сопоставляя площади и объемы, пользуется понятием величины и производит эксплицитное суммирование бесконечного числа геометрических объектов, что усиливает исходное положение и показывает, что Архимед, возможно, приблизился к открытию идеи интеграла гораздо ближе, нежели мы ранее думали. Подробнее см.Netz–Noel 2007, 187 сл.



Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13


База данных защищена авторским правом ©zodorov.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница