Философские проблемы математики


Глава 3. Философия математики как становящаяся научная дисциплина



страница3/13
Дата01.05.2016
Размер1.32 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13
Глава 3.
Философия математики как становящаяся научная дисциплина

В первой главе мы рассмотрели, какие проблемы обсуждаются в философии математики и вполне убедились, что по всем вопросам, которые значимы в этой области философии, идут споры. Ибо в философии математики, как и в любом разделе философии, есть точки произвольного выбора, и если мы останемся в рамках философии, то нам придется все время иметь дело с противоположными взглядами, которые невозможно свести в какую-то одну картину. Однако во второй главе были изложены представления о науке, которые помогут осознать суть математики и трудности в понимании ее развития в рамках научной картины, что означает преодоление оппозиций. Третья глава посвящена тому, как можно средствами теории социальных эстафет М.А. Розова осознать проблемы, которые вызывают споры в рамках сугубо философского исследования математики.

Будет показано: 1) как можно снять оппозицию платонизма и антиплатонизма; благодаря представлению о том, что математические объекты – это куматоиды; 2) возникновение, строение математических объектов будет осознано как конструирование, что позволит понять специфику математики, которая, действительно, не находит свои объекты в природе, а конструирует их - но конструирует отнюдь не произвольно, а в процессе решения практических задач, что очевидно для первого периода развития математики – арифметики и геометрии эпохи Евклида, хотя и менее очевидно для математики последующих эпох; 3) вопрос о том, имеют ли место научные революции в математике, можно осознать в рамках других представлений о науке, чем у Куна, и другого видения революции в науке, тогда ответ на вопрос о революциях в математике будет звучать иначе; 4) вопрос, который очень волнует многих математиков – ради чего работают математики. Математика конструирует свои объекты. Однако. Какими целями математики при этом руководствуются? Если на первых этапах практическая обусловленность математических построений была явно видна, то в таких современных областях. Как теория множеств, топологи и т.п. – связь с практикой (или с другими науками, прежде всего, с теоретической физикой) совершенно не видна. С.П. Новиков дал глубокий анализ установок математиков, которых во многих случаях не волнует, ади чего математики работают, не волнует то, что связь с физикой потеряна. А математики просто работают по образцам математической деятельности – строят аксиоматику, доказывают теоремы существования для тех случаев. В которых физика уже решила проблемы (Новиков, 2002). 5) рассмотрим также вопрос о том, действительно ли в математике все всегда определяется и доказывается, что все в математике выводится из аксиом. Важно, что отрицательный ответ на эти вопросы вовсе не уронит престиж математики, а приблизит наше видение ее сущности и механизмов развития к реальности, ибо мы опираемся при этом не только на умозрительные соображения о том, что такое строгое математическое исследование, не только на представления о том, каким бы оно должно было быть, но и на материал истории формирования многих важнейших разделов математики, где вовсе не имел место вывод из аксиом, а имели место физические аналогии, как у Архимеда, весьма неточный язык бесконечно малых и т.п. В итоге философия математика предстанет перед нами дисциплиной, где станет меньше антиномий, за счет того, что она, во-первых, использует современные средства эпистемологии – представления о нормальной науке Куна, идеи Лакатоса, Полани, концепцию социальных эстафет Розова, а во-вторых, все построения философии математики будут опираться на историю науки.


Мы рассмотрели, таким образом, целый ряд точек произвольного выбора в философии математики, когда ее проблемы не решаются тысячелетиями, поэтому вполне оправдана установка на эпистемологизацию этой области философского знания. Для осуществления такого поворота есть все условия – во-первых, есть модель науки – Куна, и усовершенствованная Розовым его модель, трактующая науку как куматоид, и рассматривающую в составе каждой науки программы получения знаний и коллекторские программы систематизации знания. Опишем, какое видение философских проблем математики дают эти средства.
3.1. Способ бытия математических объектов.
Математические объекты как куматоиды
Трудности в понимании сущности числа обусловлены тем, что при действии с числами не все дано исследователю – дана запись числа – некий знак, «закорючка». Но эта запись совершенно не «подсказывает», как действовать с числом, в противовес изучению объектов в рамках физики, химии, биологии и т.л., где действия с объектами вытекают из их материала – вещество можно нагревать, намагничивать, просвечивать рентгеном и т.п. Правила же действия с числами не обусловлены материалом знака. Знаки геометрии – чертежи, - носят несколько иной характер, это – знаки пиктограммы, сами геометрические знаки «подсказывают», какие действия можно осуществлять с ними – опускать перпендикуляры в треугольнике или трапеции, вписывать в круг другие геометрические фигуры, продолжать линии и т.д. Такие знаки как числа, интегралы – это неатрибутивные объекты, именно потому, что правила действия с ними не содержатся в записи числа, в материале знака. Правила определяются не записью знака, не его формой или материалом, а человеческой деятельностью, Культурой.

Итак, рассмотрим вопрос о способе бытия математических объектов. Основное, что нас при этом будет интересовать, - с помощью каких средств рационально рассматривать вопрос о реальности математических объектов. Будем стремиться к тому, чтобы избежать представлений о том, что математические объекты существуют в особом, интеллигибельном мире, также, как и о том, что они существуют в голове математика (Рассел 1998 С. 50-51) или что «мы их встречаем или их открываем и изучаем точно так, как это делают физики, химики или зоологи» (Цит. по Бурбаки 1963 С. 29). Многовековые споры о том, где и как существуют эти объекты, обусловил наше обращение к другим средствам изучения этой проблемы, чем это традиционно имело место – к сравнительно новой концепции знака и знания, предложенной в рамках теории социальных эстафет М.А. Розовым. Математические объекты при этом сближаются с гуманитарными, и именно такое их рассмотрение позволяет, как представляется, наметить выход из дилеммы, сформулированной П. Бенацеррафом: «если мы признаем математическое знание истинным, и его объекты существующими, тогда непонятно, как мы получаем это знание, не имея чувственного контакта с этими объектами» (Цит по Целищев 2007, с. 47).

Мы уже отмечали, что вопрос о том, где и как существуют математические объекты, ставится давно. Еще Платон и Аристотель обсуждали вопросы о том, что такое число, что такое общее. Платон, как известно, противопоставлял понятия как единственно действительные сущности чувственному бытию. В главе 9 первой книги «Метафизики» Аристотель от имени всей платоновской школы говорит, что «ни один из способов, какими мы доказываем, что эйдосы существуют, не убедителен» (Аристотель, 1976. С. 86). Он полагает, что следует, по-видимому, считать невозможным, чтобы отдельно друг от друга «существовали сущность и то, сущность чего она есть; как могут, поэтому, идеи, если они сущности вещей, существовать отдельно от них?» (Аристотель, 1976, С. 88). «Не дается также никакого объяснения, как существует или может существовать то, что ... идет после чисел – линии, плоскости и тела, и каков их смысл».

И в наши дни воспроизводятся и воззрения Платона, и их критика. Так, В.В. Целищев пишет: «Прежде всего, весьма проблематично понятие существования в нематериальном мире, которое присуще широкому спектру философских учений, известных под названием «идеализм». Исторически, идеализм, как оформленное Пифагором и Платоном философское учение, мотивировался математикой» (Целищев 2007, С.41). Автор книги ставит вопрос, в какой степени математика ответственна за те неприемлемые по философским основаниям положения, которые свойственны платонизму: «В частности, платонизм в области математики утверждает существование другого, нематериального, мира, населенного математическими объектами. Возникают вопросы о том, где находится этот мир, как войти в соприкосновение с ним, как может наш язык указывать на объекты этого мира, если они не являются чувственно воспринимаемыми объектами. Платонисты настаивают на том, что люди имеют внечувственное осознание математических структур, называемое часто интуицией математика, и что при помощи интуиции мы входим в контакт с математическими сущностями». (Целищев, 2007. С. 42).

Ссылаясь на Бенацеррафа, В.В. Целищев формулирует следующую дилемму: «если математика представляет собой исследование объективных идеальных сущностей и если когнитивные способности человека позволяют ему познавать только чувственные объекты, то, как он может познавать математические объекты?» (Целищев 2007, с.46). Он подчеркивает, что дилемма ставит перед нами выбор – либо отрицать, что математика говорит о числах, либо предполагать некоторые неестественные способности человека в отношении сбора информации. Он совершенно справедливо признает, что обе возможности не выглядят привлекательными.

Однако зададим вопрос – почему рассматриваются только две возможности? Почему надо безоговорочно признавать, что когнитивные способности человека позволяют ему познавать только чувственные объекты? Почему признание чисел как объектов исследования необходимо требует неестественных способностей человека в отношении сбора информации? Ведь кроме естественных наук и математики есть еще одна группа наук – гуманитарные, методы исследования которых позволяют изучать такие «объекты», как язык (вообще тексты), литературные герои, прошлое, не являющиеся «чувственными» объектами в полном смысле?

Подчеркнем, что В.В. Целищев совершенно прав, когда он приводит слова У. Харта (и присоединяется к ним), что надо приветствовать переформулировку основных положений эпистемологии математики, надо осуществить эпистемологический поворот в философии математики (Целищев 2007 С.46). Однако, рассматривая эпистемологические проблемы, он снова возвращается к позиции П. Бенацеррафа, уже приведенной нами выше, который считает, что невозможен эпистемологический доступ к математическим объектам.

Действительно, математические объекты отличаются от растений, животных, горных пород, которые ученые приносят в лабораторию и с которыми они вступают «в чувственный контакт» - взвешивают, изучают форму, цвет и т.д. Однако нельзя сказать, что математические объекты совершенно не даны человеку в его чувственном опыте – человек видит математические знаки, отличает интеграл от дифференциала, одно число от другого и т.д. Но и каждый согласится, что способы действия с математическими объектами не определяются чувственным обликом этих объектов. Для исследования проблем, поставленных В.В. Целищевым, воспользуемся его советом осуществить эпистемологический поворот и обратимся к теории социальных эстафет, которую мы рассмотрели выше, а также к его статьям «К методологии анализа феномена идеального» (Розов, 2006-3) и «Способ бытия математических объектов» (Розов, 2007) . В последней статье он приводит ряд соображений, цель которых - показать тесную связь названной проблемы с аналогичными фундаментальными проблемами современных гуманитарных наук и замечает, что на наличие такой связи в принципе уже указывали и сами математики, например, Гудстейн. Именно в сближении проблем философии математики и гуманитарных наук, в использовании в философии математики средств для анализа семиотических объектов гуманитарных наук, в частности, теории социальных эстафет, мы видим эпистемологический поворот, который следует совершить, чтобы попытаться выйти из дилеммы, сформулированной П. Бенацеррафом.



В статье «К методологии анализа феномена идеального» М.А. Розов вводит принцип персонификации, т.е. показывает, что отношение человека к вещи – это всегда отношение «человек – человек»: «Можно сформулировать общий принцип, согласно которому любое отношение человека к окружающим объектам всегда опосредовано его отношением к другому человеку. За отношением «человек – вещь» всегда скрывается отношение «человек – человек» в качестве ис­ходного и определяющего. Назовем это утверждение принципом пер­сонификации. Каждый из нас живет в окружении многих привычных вещей, которые он использует строго определенным образом. Может показаться, что способ употребления, способ действия, прежде всего, определяется свойствами самой вещи, что с ней просто нельзя обходиться иначе. Но это не так. Запустите в свою квартиру стадо обезьян, и вы убедитесь, что знакомые вам предметы гораздо более полифункциональны, чем вы думали раньше. И если вы не перевора­чиваете свой письменный стол, не раскачиваетесь на люстре и не используете книжный стеллаж в качестве шведской стенки, то это вовсе не потому, что названные предметы сами не допускают столь безобразный способ их употребления. Они допускают, но это не при­нято. Иными словами, ограничивают нас не вещи, а нормативные сис­темы, в рамках которых мы живем, т. е. другие люди. Способ дейст­вия с предметом не вытекает непосредственно из его физических, химических и прочих свойств. Эти свойства, конечно, ограничива­ют круг возможных действий, но оставляют его всегда практически бесконечным. И в этом плане нет никакой существенной разницы меж­ду письменным столом и фигурой на шахматной доске. В обоих случа­ях мы имеем дело с определенным материалом, но письменный стол и ферзь – это не материал сам по себе, а функция, которая закреп­лена за этим материалом и «записана» в нормативной системе общест­ва. Отсутствие однозначного соответствия объективных свойств вещи и способов ее использования порождают, по М.А. Розову, в конечном счете, феномен идеального. Он приводит слова Платона из «Государства» о геометрах «Но ведь когда они вдобавок пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. Так и во всем остальном. То же самое относится и к произведениям ваяния и живописи: от них падает тень, и возможны их отражения в воде, но сами они служат лишь образным выражением того, что можно видеть не иначе как мысленным взором» (Платон, 1971. С. 318- 319). Работая с чертежом и строя свои утвержде­ния, геометр не обращает внимания на неровности линий, на то, что диагональ проведена не до конца, и на многие другие небреж­ности исполнения. Этих небрежностей для него как бы не существу­ет. Иначе говоря, поведение геометра и его утверждения не могут быть выведены из особенностей того объекта, с которым он непосредственно действует, он действует как бы с чем-то других. И Платон вводит представление об особых идеальных объектах. Основная мысль статьи М.А. Розова следующая: «Идеальное – это феномен определенной точки зрения, определенной позиции, точнее, это феномен неполноты выделения исследуемой системы. Стоит нам ограничить себя анализом отношения «человек–предмет», «человек – вещь», стоит забыть принцип персонификации, и сразу оказывается, что поведение человека не выводимо из объ­ективной ситуации, а иногда прямо ей противоречит. Оперируя не­посредственно с конкретным, чувственно данным предметом, человек в то же время действует как бы с чем-то другим. Видимый предмет точно одевается невидимыми гранями, которые определяют поведе­ние человека. Это другое и есть идеальное, ибо в рамках выде­ленной системы его никак нельзя определить, кроме как через про­тивопоставление материальной вещи. Но стоит расширить систему, раздвинуть ее рамки, и станет ясно, что человеческое поведение детерминировано другими людьми, обществом в целом, что оно глу­боко социально по своей природе, и что феномен идеального – это только эхо или тени, подлинные причины которых не попали в поле нашего зрения» (Розов, 2006-3 С.82).

В более поздних работах М.А. Розов различает атрибутивные свойства объектов, т.е. такие свойства, которые вытекают из их материала, и неатрибутивные, способы действия с которыми определяются не их материалом, а чем-то другим. Семиотические объекты неатрибутивны, т.е. способы действия с ними определяются не их материалом, а традициями, эстафетами, в которые включены знаки, в том числе – математические. Рассматривая вопрос о способе бытия математических объектов, М.А. Розов обращается к аналогии чисел и шахмат, которую использует Р.Л. Гудстейн «...шахматный король – это одна из ролей, которую фигура играет в шахматной партии, – роль фигуры, а не сама фигура. Точно так же различные роли, которые цифры играют в языке, это и есть числа. Арифметические правила, аналогично шахмат­ным правилам, формулируются в терминах дозволенных пре­образований числовых знаков» (цит. по Розов, 2007. С. 62). Шахматы как таковые с их правилами ходов воспроизводят се­бя только как нормативная система, т. е. существуют только в рамках определенных процессов-эстафет. Эти процессы есть механизм существования шахмат, способ их бытия. Эстафеты – это способ бытия и математических объектов – делает вывод М.А. Розов: «объекты математики такие, например, как натуральные числа,– это некоторые роли соответствующих обозначений, которые вос­производят себя по принципу нормативных систем. Иными сло­вами, математические объекты существуют как нормативные системы. Это и есть их «устройство» или способ их бытия. Ска­занное выше означает их независимость от индивидуального че­ловеческого сознания, ибо они в своем бытии обусловлены всем контекстом культуры, всей практикой человечества и противо­стоят отдельному человеку или целому поколению как явление не менее объективное, чем язык. Но будучи явлением культуры, они и развиваются не по законам естественно-научных объектов, а вместе с культурой и по ее законам» (Розов, 2007. С. 66-67).

Представления о математике как социальной науке развивает также Р. Коллинз в Эпилоге своей книги «Социология философий» (Коллинз, 2007), где автор выстроил сети личных связей между философами и учеными, как по вертикали (учитель-ученик), так и по горизонтали (кружки единомышленников, соперничавших между собой). Сети, которые представлены в книге, включают и математиков, ибо философы часто были и математиками и наоборот. Кроме того, из всех научных дисциплин сообщество математиков функционирует наиболее продолжительно. Коллинз пишет, что математика социальна в двух смыслах: 1) каждый, кто причастен к математике, даже на уровне понимания уравнения элементарной арифметики, включен в некую форму социального дискурса и некоторую сеть учителей и исследователей, делающих открытия; 2) предметом математики являются операции, а не вещи. Он считает, что «второй аспект еще более ярко показывает, что математика насквозь социальна» (Коллинз, 2007, С. 104-105). «Операции математики социальны, начиная от элементарного уровня счета и далее. Дело не просто в том, что мы учимся считать всегда у кого-то другого и что умение считать широко распространено в большинстве обществ. Счет может быть явной социальной деятельностью: я считаю эти вещи, находящиеся перед нами, я предлагаю и вам тоже их посчитать или же согласиться с результатами моего счета, поскольку при выполнении тех же самых процедур, вы придете к тому же заключению» (Там же).

Коллинз специально подчеркивает, что предметом математики являются операции, а не вещи. Математика не является областью, где исследуется, какие типы вещей существуют в этом мире, либо в каком-то ином мире за пределами этого. Он говорит, что легко полагать число вещью, ибо оно может считаться существительным в предложении. Однако первоосновой числа является просто счет, а он состоит в выполнении жестов, словесных или иных, относительно чего-либо при произнесении последовательности «1, 2, 3 …», число изначально является деятельностью (или операцией) перечисления. Предлагая понимание математических объектов, существенно отличающееся от традиционного, Коллинз приводит объяснение того, что устоявшийся в течение долгого времени взгляд на математику как на царство платонистских идеалов ошибочен. Один аргумент - объекты математики должны быть идеальными, поскольку доказываемые в них истины о геометрических фигурах относятся к идеальным окружностям и прямым, а не к несовершенным линиям, начерченным на песке. Другой – числа – это не вещи, наблюдаемые нами в мире, поскольку именно с помощью чисел мы можем вещи перечислять. «В обеих линиях аргументации делается одинаковая ошибка: допускается, что реальность должна состоять либо из субстантивных вещей, либо из самостоятельных идей. Однако математические объекты не являются ни теми, ни другими, они суть символы действий – операций математического дискурса. Универсалии и идеалы – это деятельность социального дискурса, и они столь же реальны, сколь реален этот дискурс. Иными словами, они столь же реальны, сколь реален обыденный, соразмерный человеку мир действия. Нет нужды приписывать их какому-то иному миру» (Там же).

Апелляция Коллинза к миру человеческих действий при анализе вопроса о сущности математических объектов, к человеческому общению, к сетям коммуникаций созвучна и мнению Гудстейна (число – это роль, которую играет соответствующая цифра), и представлениям Розова, во-первых, в некоем глобальном смысле – что решение вопроса, где и как существуют объекты математики, нужно искать в области гуманитарного познания, а во-вторых, совпадает и конкретное видение сути математических объектов – а именно, тот и другой автор видит эту суть в коммуникациях между людьми. Коллинз называет это сетями, Розов – эстафетами.

Однако есть и различие. М.А. Розов различает непосредственные эстафеты, которые являются воспроизведением образцов, находящихся в поле восприятия человека, и опосредованные – заданные описанием транслируемого действия. Суть теории социальных эстафет состоит именно в утверждении о том, что в основе всей Культуры, прежде всего языка, простейших (основных) производственных действий лежит непосредственное воспроизведение опыта. Впоследствии наряду с непосредственными образцами, определяющими действия человека, появляются и правила, однако обычно человек, владеющий языком, может и не знать правил (а говорить при этом верно), да и все правила невозможно сформулировать. Все это перекликается с идеями неявного знания М. Полани. Существенно, что в эстафетах М.А. Розов выделяет, во-первых, транслируемое содержание, и, во-вторых, собственно эстафету – от кого кому происходит передача образца (способа действия). Коллинз описывает сети передачи опыта, но не говорит о содержании того, что идет по сетям. В этом смысле сети математиков ничем по типу не будут отличаться от сетей историков или кого-то еще. Теория же социальных эстафет позволяет поставить вопросы о появлении опосредованных эстафет, о формулировании норм (грамматических, правил в математике и т.д.), а также о том, все ли правила выявлены в каждом случае. Обычно выявлены не все правила языка, правила математических рассуждений и т.д. Иначе говоря, даже после выявления некоторых правил, еще остается существенной роль образцов рассуждений. Возникает вопрос о стационарности эстафет, который М.А. Розов решает, обращаясь к социальному контексту. Каждый предмет, который мы как-то называем, похож в том или ином отношении на остальные – по цвету, по форме, материалу или чем-то еще. Но человеку, которому указали на предмет и назвали его «пепельницей», уже известна таблица цветов, известны формы и т.д. Иначе говоря, человек имеет дело не с изолированными образцами, а с множеством взаимосвязанных образцов. «Именно социальный контекст и ограничивает наши степени свободы. Стационарность нормативных систем – это со­циальный, а не биологический феномен и если быть точ­ным, то можно говорить только об относительной стационар­ности» (Розов 2007, С. 66).

Воспользуемся еще одним понятием – понятием социальный куматоид. Это некоторое устройство социальной памяти, для которого характерно наличие инвариантов – программ, в рамках которых организуется деятельность большого числа людей. Программы – это инварианты, а люди все время меняются, представляя собой некий поток, некий постоянно обновляющий себя материал, программы же остаются неизменными. Программы могут представлять собой четко сформулированные и записанные инструкции или неявное знание, которое передается от человека к человеку путем воспроизведения непосредственных образцов, т.е. путем эстафет.

Любое слово, любой математический объект – это куматоиды. Представив математический объект как куматоид, можно сформулировать программу его исследования, а именно – можно поставить задачу выяснить, какая программа связана с каждым из объектов, как эта программа складывалась, сформулированы ли, например, правила действия с числами, или люди действуют по образцам, что изменяется тогда, когда появляются правила. Так, в статье моего аспиранта Ю.В. Пушкарева (Пушкарев 2004) проанализирована история формирования понятия интеграл. Возникновение метода интегрирования связывают с именем Архимеда, который предложил формулу вычисления объема шара новым методом. Пушкарев показал, как происходил переход от представлений об интегралах как средствах вычисления площадей и объемов к анализу их как полноправных объектов математики, которые интересны и важны сами по себе, а не только как средства решения задач механики (в работах Ньютона) или астрономии (у Кеплера). В статье исследована роль рефлексивных преобразований в становлении интегрального исчисления, роль программно-предметных комплексов дисциплин в возникновении математического анализа, значение ценностных установок в этом процессе. Все эти вопросы важны для изучения механизмов новаций в математике и сформулированы в рамках эстафетной модели науки. Так выполненный анализ формирования и видоизменения математического знания вполне отвечает вполне определенной эпистемологической ориентации, о необходимости которой говорит В. В. Целищев: «Среди хаоса мнений и предположений о том, в какой степени математика связана с философией, следует найти какой-то порядок, который смог бы дать точку опоры в будущей философии математики, если ей суждено выжить. На мой взгляд, таковой является эпистемологическая ориентация на вопросы математического познания, а не на традиционные вопросы о природе математических объектов и математической истины» (Целищев 2007 С. 48). Фактически В.В. Целищев считает, что надо перейти от обсуждения сугубо философских вопросов, касающихся математики, таких, которые с неизбежностью всегда будут порождать споры в силу самой природы философии, для которой характерно наличие точек произвольного выбора (Розов 2006-2), к изучению эпистемологической специфики математики, приближающейся по характеру работы к научной дисциплине, многие утверждения которой могут быть верифицированы или фальсифицированы фактами истории науки, или, говоря словами И. Лакатоса, когда история науки выступает как пробный камень методологии науки. Эстафетная модель науки, предложенная М.А. Розовым как развитие модели науки Т. Куна предоставляет богатые возможности такой эпистемологической переориентации.

Таким образом, М.А. Розов решает этот вопрос о способе бытия математических объектов путем выявления тесной связи названной проблемы с аналогичными фундаментальными проблемами современных гуманитарных наук – где и как существуют такие объекты, как слово или литературные герои. Объекты математики такие, например, как натуральные числа, – это некоторые роли соответствующих обозначений, которые вос­производят себя по принципу нормативных систем. Это и есть их «устройство» или способ их бытия. Ска­занное означает независимость математических объектов от индивидуального че­ловеческого сознания, ибо они в своем бытии обусловлены всем контекстом культуры, всей практикой человечества и противо­стоят отдельному человеку или целому поколению как явление не менее объективное, чем язык. Но, будучи явлением культуры, они и развиваются не по законам естественнонаучных объектов, а вместе с культурой и по ее законам.

Аналогичную точку зрения проводит Р. Коллинз, автор фундаментальной монографии «Социология философий», где он строит и изучает сети личных связей как вертикальные (учитель-ученик), так и горизонтальные (кружки единомышленников). Коллинз развивает социальную концепцию творчества и выступает против платонистской трактовки математики – т.е. против того, что матема­тические истины существуют в некотором особом царстве, никак не со­относящемся с человеческой деятельностью по формулированию мате­матических утверждений. Он говорит, что математика имеет социальную природу в том смысле, что она неизбежно является дискурсом в некотором социальном сообществе (математики включены в сеть учителей) и математические объекты столь же реальны, сколь реален обыденный, соразмерный человеку мир действия.

Соглашаясь с отказом Коллинза от наивного реализма и платонизма и признавая социальную сконструированность знания, Н.С. Розов полагает, что необязательно сводить, подобно Коллинзу, реальность объектов естествознания к лабораторному оборудованию, а реальность математических объектов – к коммуникативным операциям. Он занимает позицию, названную им генеративным виртуализмом, что включат в себя а) чисто ментальный характер математических миров; б) потенциал бесконечного развертывания; в) жесткость, «упрямство», отсутствие произвольности в следствиях заданных конструкций.

Если принять концепцию М.А. Розова о том, что числа – это роли обозначений и существуют как эстафеты, или куматоиды, то это снимает мистику существования чисел в сознании человека, как и в особом интеллигибельном мире и нацеливает исследователя в области философии математики на изучение программ, определяющих, что такое число, что такое интеграл, группа и любой другой математический объект, как складываются и видоизменяются эти программы, например, как появляются такие интегралы, как интеграл Лебега, Стильтьеса и т.п. Самостоятельной линией изучения является (и она реализована в истории математики) анализ того, как складываются обозначения, прежде всего, как формируются обозначения числа – как возникают разные формы записи чисел. Программы, связанные с теми или иными обозначениями, далеко не всегда существуют в виде правил. Как и следует из эстафетной модели Розова, способы действия с обозначениями (числами, интегралами и т.д.) заданы с помощью письменных «инструкций», но главным образом, эти правила заданы образцами предшествующей деятельности. Скажем, есть правила дифференцирования функций (которые тоже записаны с помощью специальных обозначений), но этого нельзя сказать о вычислении интегралов, здесь основное правило – приведение подынтегрального выражения к табличному виду. И здесь в основном действуют по образцам – как раньше приводили те или иные подынтегральные выражения. Правила действия с числами заданы таблицей умножения. Отсутствие явно сформулированных правил для большинства операций поддерживает мистику, связанную с математическими объектами - полагают, что операции осуществляются «в уме», тогда как все «выложено на конвейер» - обозначения даны человеку, и здесь работают чувства – любой человек научается распознаванию чисел и других математических объектов, правила (приемы) вычисления изучаются в школах и университетах.


Вопросы

    1. Согласны ли Вы с тем, что для ответа на вопрос, где и как существуют математические объекты, можно попробовать сближать это объекты не с объектами естествознания, а с объектами гуманитарных наук?

    2. Какие представления об идеальном развивает М.А. Розов? (можно воспользоваться его статьей: Розов М.А. К методологии анализа феномена идеального // Философия. Материалы для выполнения учебных заданий по философии. Новосибирск, 2003, стр. 109-114.

    3. Стремясь познать суть математических объектов, Р. Коллинз апеллирует к миру человеческих действий, М.А. Розов – к социальным эстафетам. В чем сходство и различие их подходов?

    4. Что такое социальный куматоид? Что дает для понимания математических объектов представление их как куматоидов?

    5. Что такое эпистемологический поворот в философии математики?

3.2. Программа «конструктор» как способ задания объектов математики


В 2009 году вышла большая статья М.А. Розова «Тезисы к перестройке теории познания» (Розов 2009). Один из тезисов посвящен познанию и инженерному проектированию. М.А. Розов развивает в своих работах теорию социальных эстафет, в основе которой лежит представление о воспроизведении деятельности по уже существующим образцам. Однако он пишет в «Тезисах…», что в целом это принципиальное, но очень упрощенное представление, и что исторически на базе эстафет и накопления знания формируются принципиально новые механизмы, и, прежде всего, такое образование, как конструктор. Под конструктором Розов понимает «такую социальную программу, обычно частично вербализованную, а частично нет, которая позволяет нам проектировать деятельность по созданию объектов с заранее заданными свойствами. В рамках такой программы работает любой инженер, получивший проектное задание, сходным образом работает и ученый. Оба отталкиваются от набора функциональных характеристик некоторого объекта и пытаются создать проект его построения. Знание представляет собой не только описание уже реализованной деятельности, но и проекты деятельности, которые еще надо реализовать, если это практически возможно. Существует глубокий изоморфизм между работой инженера и исследователя» (Розов 2009 С.108). Называя конструктором «некоторое множество объектов, для которых заданы определенные способы их преобразования» (Розов 2004 С. 281), М.А. Розов в основном рассматривает, как функционирует конструктор в экспериментальных науках – физике, химии и т.п. Рассмотрим эти случаи и затем сопоставим их с функционированием конструктора в математике.

Большинство программ получения знаний (методических программ) в науке не существуют без программ конструирования. Так, эксперимент Лавуазье, доказывающий, что вода состоит из кислорода и водорода, - это некоторая методическая программа, образец, который можно воспроизводить. Розов показывает, что эта экспериментальная ситуация возникла не сама по себе, не как случайное стечение обстоятельств, она была предварительно сконструирована, был построен, а затем реализован определенный проект (Розов 2006-2 С. 342). Для понимания того, как работает конструктор в математике, нам более важны представления о теоретическом конструировании. Для такого конструирования существенно, что реализация заданных образцов или правил всегда возможна и всегда приводит к одному и тому же результату – «мы не учитываем и не оговариваем множества различных привходящих обстоятельств, которые подстерегают нас при работе с эмпирическими объектами» (Розов 2004 С. 282). На естественный вопрос – с чем же мы работаем, с чем оперируем в рамках теоретического конструктора, обычно дают ответ о действиях с идеальными или идеализированными объектами, где появляются мысленные процедуры. Однако, совершенно не ясно, как изучать такие мысленные процедуры, ментальные состояния и т.п. Новаторство М.А. Розова в эпистемологии состоит в том, что он показывает, как можно полностью обойтись без подобных представлений. Он считает, что тайна работы в теоретическом конструкторе кроется в разделении труда. Так, например, человек забивает гвоздь, работая с реальными предметами – гвоздем, молотком, доской. Он много раз забивал гвоздь и действует, воспроизводя имеющиеся у него образцы. При возникновении ситуации, когда надо объяснить другому, как забить гвоздь, человек рассказывает, как надо действовать. С какими объектами действует при этом инструктор? Розов говорит, что ничего не изменилось, кроме одного – раньше тот, кто забивал гвоздь, непосредственно воспроизводил образцы своего ремесла, а теперь он вынужден вербализовать их в форме набора команд. Он оперирует при этом образцами и командами, но работает он теперь в теоретическом конструкторе, ибо предполагает, что все его команды реализуемы и в данной конкретной ситуации, отличной от той, которую он когда-то наблюдал. Ученик же может столкнуться с тем, что гвоздь согнулся и т.д. Не случайно, поэтому, теоретические тексты очень напоминают такого рода команды. Таким образом, было «сконструировано» теоретическое исследование, где нет необходимости прибегать к «мысленным процедурам» с идеализированными объектами

Розов, таким образом, связывает теоретическое исследование не с мифическими мысленными процедурами, а с вербализацией образцов прошлой деятельности, когда один человек объясняет другому, как действовать в тех или иных случаях (первый уже владеет этими действиями).

Математика существенно отличается от эмпирических наук тем, что в ней нет эмпирической референции, математика непосредственно не имеет дело с природными, вещественными объектами. Если физик, химик, биолог может экспериментировать со своими объектами – нагревать, сжимать, измерять и т.д., то математик имеет дело с объектами, обозначенными символами – чертежами и разного рода символикой. М.А. Розов показывает, что числа – роли обозначений (Розов 2007). Но как заданы роли? Роли заданы способами действий. Здесь и начинается функционирование конструктора в математике. Число, треугольник, любой другой математический объект всегда связан с теми или иными действиями, которые можно (или нельзя) совершать с символами. Итак, одна из функций конструктора в математике – задание объекта исследования, ибо человеку важно не столько то, что есть такой объект, как число, но, прежде всего то, что можно с числом делать (складывать, умножать, делить и т.п.) и какие задачи можно решать с помощью чисел. Прежде всего, нужно представить число, записать его, хотя и до традиции записей существуют способы установления некоторых соотношений, например, не умея считать, хозяин, тем не менее, может знать, все ли стадо возвратилось домой. Система записей в разных культурах различается, и это свидетельствует, в том числе, и о том, что числа не были даны кем-то всем культурам, а возникали в каждой в своем, специфическом виде. Принципы записи чисел – это один из первых конструкторов в арифметике, который совершенствуется чуть ли не до наших дней (если учесть возникновении двоичной системы для нужд компьютеров). Историк арифметики И.Я. Депман пишет, что перед людьми, освоившими натуральный ряд чисел до некоторой достаточно далекой границы, встала необходимость создания удобных способов называния и записи чисел (Депман 1965 С. 26). Слово «освоившими» здесь не совсем точно, ибо люди не нашли числовой ряд в природе, а построили его. Депман пишет, что счисление было бы безнадежным, если бы каждому числу присваивалось особое название. «Но люди вскоре догадались, что считать надо группами, называя группы теми же именами числительными, как единицы, но с добавлением названий групп» (Там же). Люди должны были, таким образом, создать удобные способы называния и записи чисел. Одновременно с формами записи чисел возникают правила сложения и других арифметических действий. Проблемой было не только создание правил действия с числами, но и создание символики для обозначения действий. Принятые ныне знаки плюс, минус, равенство, скобки и другие возникают в Европе, начиная лишь с XY века.

Итак, математик имеет дело с символами или знаками-пиктограммами. Суть математики состоит в том, что математик строит правила действия с числами, другими символами, чертежами, т. е. работает в рамках того или иного конструктора, который он сам и создает.

Важным фактором развития математики было осознание математиками того обстоятельства, что математика нуждается в алгоритмах, или правилах (т.е. в конструкторах), а не только в нахождении тех или иных зависимостей. Я имею ввиду, например, факты из истории становления интегрального исчисления, когда Архимед, Кеплер и ряд других математиков стремились найти площади криволинейных фигур, тогда как исчисление было создано, когда осознали, что нужно искать (строить) метод нахождения площадей, максимумов и минимумов, а не только сами максимумы и минимумы. Первый шаг в этом направлении сделал сам Архимед, который понял, что он получил два результата – нашел площадь (объем) криволинейных фигур и – решил эти задачи новым методом, которым, как он провидчески предвидел, возможно, впоследствии можно будет пользоваться и для решения других задач: «Он [этот метод] может принести математике немалую пользу; я предполагаю, что некоторые современные нам или будущие математики смогут при помощи указанного метода найти и другие теоремы, которые нам еще не приходили в голову» (Архимед 1962 С. 299).

Однако когда Лейбниц ввел определение дифференциала, предложил для него обозначение и сообщил без доказательства правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и степени, его работа долго оставалась непонятой. Это тем более удивительно, что правила не были чем-то новым в математике, ими более или менее осознанно пользовались все те, кто занимался тогда проблемами касательных, максимумов и минимумов и т.д. (Медведев 1974 С. 112). Причина этого непонимания была в том, что сформулированные правила были «выставлены Лейбницем в качестве общего исходного пункта для всех инфинитезимальных исследований, … что связь их с символикой делает их основой исчисления, с помощью которого можно производить разнообразные инфинитезимальные исследования таким же образом, как исследования анализа конечной величины с помощью буквенного исчисления» (Цейтен 1933 С. 409). Здесь очень важно обратить внимание на следующее – новаторство Лейбница состоит не в том, что он предложил новые правила, а – в другом осознании этих правил. Правила были не столько средством нахождения определенных геометрических величин (максимумов, минимумов, касательных), сколько самостоятельным результатом, основой исчисления, с помощью которого можно было производить «разнообразные инфинитезимальные исследования», а не только те, которые привели к этим правилам. Осуществление этого рефлексивного преобразования и делает Лейбница одним из авторов дифференциального и интегрального исчисления.

Использование математики при решении задач механики, физики сделало их точными науками и привлекательным образцом для подражания. Во второй половине ХХ века много пишут о математической лингвистике, математической экономике и других подобных дисциплинах, где надеялись средствами математики решить их основные проблемы. Однако надежный способ математизации (или математического моделирования) имеет место только в том случае, когда есть некоторый инверсивный (двойственный) объект, с одной стороны, фиксирующий важные свойства реальности, а, с другой, представляющий собой задачу, которая может быть решена математически. Такова, например, задача фанерного треста о таком раскрое листа фанеры, чтобы отходы были минимальными. В 1938 году Л.В. Канторович консультировал фанерный трест по проблеме эффективного использования лущильных станков. Он понял, что дело сводится к задаче максимизации линейной формы многих переменных при наличии большого числа ограничений в форме линейных равенств и неравенств. Он модифицировал метод разрешающих множителей Лагранжа для её решения и понял, что к такого рода задачам сводится колоссальное количество проблем экономики. В 1939 г. Канторович опубликовал работу «Математические методы организации и планирования производства», в которой описал задачи экономики, поддающиеся открытому им математическому методу, и тем самым заложил основы линейного программирования. Формирование новой математической дисциплины в этом случае есть не что иное, как становление нового конструктора в математике, в рамках которого решается класс экстремальных задач с ограничениями. Лист фанеры, который надо раскроить оптимально, – это инверсивный объект: с одной стороны, здесь описывается содержательная практическая задача, с другой – эта ситуация способствует постановке новой математической задачи – максимизации линейной формы многих переменных при наличии большого числа ограничений.

Еще пример успешного математического моделирования – решение Эйлером (1736 г.) задачи о Кенигсбергских мостах. Получив решение, Эйлер поставил вопрос, почему такую задачу «обыденной жизни» решает математик, ибо никаких собственно математических действий он, по его словам, не совершал. Однако в наши дни решение задачи о Кенигсбергских мостах считается первым шагом в новой области математики – теории графов. Термин «граф» появился у Денеша Кенига в 1936 году. Перечисляя задачи, приведшие к формированию теории графов, обычно называют кроме задачи о мостах, задачу о четырех красках, задачу коммивояжера, открытие Кирхгофом законов течения электрического тока в разветвленных цепях и т.д. (Эйлеровы пути). Как оказалось, что эти совершенно разные практические задачи лежат в основании новой математической теории – теории графов? Рефлексия исследователей должна была осознать каждую из этих задач как одну и ту же задачу (как задачу на одном и том же объекте и что важно - новом для математики). Для этого, отвлекаясь от конкретного содержания задач, каждый случай представляли чертежом, на котором были нанесены точки и соединяющие их линии – ребра графа. Все практические задачи, названные выше – тоже инверсивные объекты: они и описывают содержательные ситуации, и позволяют представить их, эти ситуации как новый математический объект – граф и создать тем самым новый математический конструктор.

Таким образом, введение в структуру науки такой программы, как конструктор, позволяет отвечать на вопросы – как возникают объекты математики, откуда они берутся. Эти объекты не находятся в природе, как растения, животные, минералы, а конструируются тем или иным образом при осуществлении допустимых действий чертежами, алгебраической символикой и т.п. Конструирование как способ возникновения математических объектов может пролить некоторый свет на дискуссию о научных революциях в математике. Если науки о природе изучают явления и строят модели, объясняющие эти явления, то рано или поздно, как показал Кун, появляются аномальные факты, требующие отказа от одних объяснительных конструкций и замены их другими, более адекватно «отражающими» явления, т.е. происходят научные революции. В математике же не отказываются ни от каких объектов, ибо они конструируются «правильно», «без ошибок»; их конструированием руководят не стремления объяснить те или иные явления, а – руководит только возможность осуществления определенных операций – решения уравнений, геометрические построения и т.д. Иначе говоря, в математике не выполняется одно из условий, важных в модели научной революции Куна – отбрасывание неработающих моделей. В истории математики можно зафиксировать только, что какие-то объекты становятся менее употребительными, их просто не используют, но не отбрасывают. Именно потому, что объекты математики не берутся из природы, а конструируются учеными, оказалась возможна не только геометрия Евклида, но и две других – Лобачевского и Римана. Геометрия Лобачевского долго не принималась многими математиками как раз потому, что полагали, что математика ничем, по сути, не отличается от других наук, которые «отражают» природу, следовательно, наличие двух или более геометрий – это нонсенс. Приняли же неевклидову геометрию тогда, когда были найдены модели, где выполняется эта геометрия – например, псевдосфера (поверхность типа пионерского горна).

Конечно, возникают вопросы – как именно конструируются математические объекты, чем руководствуются ученые при их создании. Но это тема требует самостоятельного рассмотрения. Отметим только, что многие новые математические объекты возникают незапланированно. Таковы отрицательные и комплексные числа, появившиеся в процессе решения уравнений, неевклидова геометрия, которая была невольно построена в ходе попыток доказательства пятого постулата Евклида, группы в работах Галуа, которые возникли как средство решения задачи о том, при каких условиях разрешимы некоторые уравнения выше пятой степени в радикалах. Такие объекты далеко не сразу принимались математиками. Ибо в рамках «модели отражения» было не ясно, что именно отражают отрицательные числа, комплексные и т.д. Принятие этих объектов было обязано приданию им некоторых смыслов (отрицательное число обозначает долг и т.п.). Наряду с такими незапланированными объектами возникают и такие, где их конструктивная природа очевидна – пространства больших (и даже бесконечных) размерностей, уравнения n-ной степени и т.д.
3.3. Новации, традиции, революции в математике
Т.Кун: «Научные революции рассматривается здесь как такие некумулятивные эпизоды развития науки, во время которых старая парадигма замещается целиком или частично новой парадигмой, несовместимой со старой» (Кун 1977 С. 128). Эти слова Кун дополняет еще двумя признаками – 1) научные революции, как и политические, начинаются с роста сознания, что существующие институты перестали адекватно реагировать на проблемы, поставленные средой, которую они же отчасти создали. И в политическом и в научном развитии осознание нарушения функции, которое может привести к кризису, составляет предпосылку революции. 2) Подобно выбору между конкурирующими политическими институтами, выбор между конкурирующими парадигмами оказывается выбором между несовместимыми моделями жизни сообщества (Кун 1977 С. 130). Чтобы раскрыть, как происходят научные революции, Кун рассматривает не только влияние природы и логики, но и эффективность техники убеждения в соответствующей группе, которую образует сообщество ученых.

В разделе IX Кун показывает необходимость научных революций. Он подчеркивает, что есть только три типа явлений, которые может охватывать вновь созданная теория. Первый состоит из явлений, хорошо объяснимых уже с точки зрения существующих парадигм; такие явления редко требуют новой теории. Второй вид явлений представлен теми, природа которых указана существующими парадигмами, но их детали могут быть поняты только при дальнейшей разработке теории. Исследования ученого в таких случаях направлены на разработку существующей парадигмы, а не на создание новой. Только когда эти попытки в разработке парадигмы потерпят неудачу, ученые переходят к изучению третьего типа явлений, к осознанным аномалиям, характерной чертой которых является упорное сопротивление объяснению их существующими парадигмами (Кун 1977 С. 134). Только этот тип явлений и дает основание для возникновения новой теории. Парадигмы определяют для всех явлений, исключая аномалии, соответствующее место в теоретических построениях исследовательской области ученого. Различия между следующими друг за другом парадигмами необходимы и принципиальны. Следующие друг за другом парадигмы по-разному характеризуют элементы универсума и поведение этих элементов, их отличие касается таких вопросов, как существование внутриатомных частиц, материальность света, сохранение теплоты или энергии. Эти различия являются субстанциональными различиями между последовательными парадигмами, и они не требуют дальней иллюстрации. «Но парадигмы отличаются более, чем содержанием, они направлены не только на природу, но выражают также и особенности науки, которая создала их. Они являются источником методов, проблемных ситуаций и стандартов решения, принятых неким развитым научным сообществом в данное время. В результате восприятие новой парадигмы часто вынуждает к переопределению основ соответствующей науки. Некоторые старые проблемы могут быть переданы в ведение другой науки или объявлены совершенно «ненаучными». Другие проблемы, которые были прежде несущественными или тривиальными, могут с помощью новой парадигмы сами стать прототипами значительных научных достижений. И поскольку меняются проблемы, постольку обычно изменяется и стандарт, который отличает действительное научное решение от чисто метафизических спекуляций, игры слов или математических забав. Традиция нормальной науки, которая возникает после научной революции, не только несовместима, но часто фактически и несоизмерима с традицией, существовавшей до нее (Кун 1977 С. 141-142).

Функции парадигмы в науке разнообразны. Одна из них – парадигма выступает в качестве средства выражения и распространения научной теории. В этой функции ее роль состоит в том, чтобы сообщать ученому, какие сущности есть в природе, а какие отсутствуют, и указывать, в каких формах они проявляются. Информация такого рода позволяет составить план, детали которого освещаются зрелым научным исследованием. План для длительного развития науки так же существенен, как наблюдение и эксперимент. «Через теории, которые они воплощают, парадигмы выступают важнейшим моментом научной деятельности» (Кун 1977 С. 149).

Однако парадигмы дают не только план деятельности, но указывают и некоторые направления, существенные для реализации плана. «Осваивая парадигму, ученый овладевает сразу теорией, методами и стандартами, которые обычно самым теснейшим образом переплетаются между собой. Поэтому, когда парадигма изменяется, обычно происходят значительные изменения в критериях, определяющих правильность как выбора проблем, так и предлагаемых решений» (Там же). Итак, парадигмы существенны для науки. Рассмотрим их существенность для самой природы. Кун рассматривает революции как изменение взгляда на мир (раздел X). В период революций ученые видят новое и получают иные результаты даже в тех случаях, когда используют обычные инструменты в областях, которые они исследовали до этого. Это выглядит так, как если бы профессиональное сообщество было перенесено в один момент на другую планету, где многие объекты им незнакомы, да и знакомые объекты видны в ином свете. Конечно, в действительности нет никакого переселения в географическом смысле; вне стен лаборатории повседневная жизнь идет своим чередом.

Ученый после революции оказывается в новом мире. Кун поясняет это, обращаясь к феномену переключения зрительного гештальта в работах психологов – то, что казалось ученому уткой до революции, после революции оказывалось кроликом. В итоге мир исследования будет казаться ученому несовместимым с миром, в котором он «жил» до сих пор. Школы, исповедующие различные парадигмы, всегда действуют, таким образом, как бы наперекор друг другу (Кун 1977 С. 151).

Таким образом, накопление аномальных фактов приводит к необходимости следовать новой парадигме, т. е. к научной революции. Новая парадигма несоизмерима со старой, от которой научное сообщество отказывается.


Есть ли в математике научные революции?

Вопрос о том, имеют ли место научные революции в математике, важен как сам по себе, так и в силу того, что он заставляет уточнить представления о математике как науке и о философии математики. На западе в 1992 г. вышел сборник «Революции в математике» (Revolution in mathematics 1992). В этом сборнике была напечатана статья М. Кроу (написана в 1975 году), где автор сформулировал 10 законов «развития» математики, которые мы уже приводили.

Как видим, Кроу говорит, что новые математические понятия зачастую возникают не в результате, но вопреки настойчивым усилиям их создателей, всеми силами пытавшимися избежать введения этих новых понятий. Новые понятия часто встречаются поначалу с упорным сопротивлением и признаются математическим сообществом только по истечению значительного времени. Математические теории достигают требующейся логической строгости лишь с течением времени, иногда длительного, но никак не сразу. Математики сохраняют некоторые понятия вследствие их удобства, даже если это не отвечает требованиям логики, Математические теории имеют свою метафизику. Признание сообществом нового математического понятия зависит от научной репутации его создателя. Математики владеют обширным запасом технических средств, позволяющих им избавляться от противоречий и затруднений в своих теориях. На основе всех предыдущих "законов" Кроу формулирует десятый "закон", гласящий, что "в математике не бывает революций", т.е. в ней не случается отбрасывания принятых понятий и теорий. Развитие математики чисто кумулятивно, утверждает Кроу, не тратя, впрочем, много времени и усилий на обоснование этого "закона", ибо он представлялся ему очевидным.

Мне представляется, что со всеми законами, кроме десятого (о том, что в математике не бывает научных революций), можно согласиться и впоследствии мы это увидим. Действительно, история науки предоставляет факты, которые демонстрируют правоту первых девяти законов.

Утверждая, что в математике нет научных революций, формально Кроу прав, ибо Кун связывает наличие революции в естественных науках с наличием аномальных фактов, появлением новой парадигмы и с отбрасыванием принятых ранее понятий и теорий. Новые парадигмы в математике, конечно, есть, но их формирование не приводит к тому, что какие-то предыдущие теории отбрасываются – «формирование аналитической геометрии не приводит к отказу от теории конических сечений и т.д.». Почему появление новых математических теорий не приводит к отбрасыванию уже имеющихся? Можно сказать, что Кроу и все те математики, которые считают, что в математике нет научных революций, рассуждают тоже формально. Да, никакие теории в математике не отбрасываются. Но разве с появлением новых теорий старые не «отходят в тень» и ими уже, в общем, не пользуются – т.е. ставятся другие задачи, которые решаются другими методами и т.п. (например, задачи на вычисление площадей и объемов после возникновения дифференциального и интегрального исчисления). Кроме того, в математике нет аномальных фактов (Лакатос в работе «Доказательства и опровержения» нашел, казалось бы, массу аномальных фактов, для которых не выполнялась теорема Эйлера о соотношении вершин, граней и ребер многогранников. Однако ни один из этих фактов не опроверг эту теорему, скорее, наоборот, - целый ряд многогранников был сочтен монстрами, и не мог посягнуть на эту теорему). Это происходит потому, что математика не является естественной наукой, наукой о природе, как физика, химия или биология. Иногда выделяют класс формальных наук, куда кроме математики входит логика, некоторые другие дисциплины. Математика конструирует свои объекты. И изучает все те объекты, которые она может сконструировать, независимо от того, отражают они действительность, или – нет. Действительно, если жизнь требует решения уравнений первой степени, второй, иногда – третьей, то нормальным для математики становится в конце концов решение уравнений n-ной степени, независимо от того, нужно ли это для каких-то практических задач, или – нет. Если физика хочет познать природу и в силу этого она строит теории так, чтобы объяснить эмпирический материал, объяснить факты природы, то математика конструирует свои объекты так, как это позволяют те средства, которыми она при этом пользуется. Например, геометрия имеет дело с теми фигурами, которые ей позволяют построить циркуль и линейка. При своем возникновении математика тесно связана с реальной жизнью. Она решает те задачи, которые от нее требует жизнь – задачи на проценты, задачи, связанные со сбором налогов и т.д.

Таким образом, не во всем правы те математики, которые говорят, что в их науке нет научных революций на основании формальных признаков (нет аномальных фактов и не отбрасываются прежние теории). Кроме того, эта группа математиков не учитывает, что есть математические теории, которые не просто в силу кумулятивности добавляются к уже имеющимся теориям, но существенно перестраивают многие имеющиеся теории и в силу этого – саму деятельность математиков. Речь идет о дифференциальном и интегральном исчислении, о теории множеств, логике.

В обзоре рассматриваются и взгляды Герберта Мертенса, который высказывает несколько важных мыслей. Рассмотрим три из них. Первая связана с понятием эпистемологического разрыва, вторая – с уточнением вопроса о том, что значит, что революции происходят «в» математике. Третья – семиотическая трактовка математики приводит к тезису о том, что математика высказывается не о мире, а только о самой себе.

Первая идея - термин "научная революция" близок к используемому Г, Башляром и М.Фуко понятию эпистемологического разрыва. Такой «разрыв» может не иметь точной даты или временных рамок. Так, например, неевклидова геометрия была создана в 1830-х

гг., а признана в 1860-х., хотя противодействие ей продолжалось до начала XX в. Препятствием на пути неевклидовой геометрии было убеждение, что геометрическая теория должна быть истинным описанием независимой от нее реальности. Преодоление этого представления и может быть реконструировано как революция в истории математики. Я совершенно согласна, что появление неевклидовой (и вообще трех) геометрии – может быть осознано как революция в математике. И эта ситуация тесно связана со второй темой – что значит, что революция произошла «в» математике в этом случае. Скорее – это революция в понимании статуса математики – отражает ли она действительность (описывает ли она независимую от нее реальность) или «делает» что-то другое? Можно поставить вопрос так – подобна ли математика естественным наукам, описывающим независимую от них реальность, или – суть математики следует осознать иначе? Как именно? Рассмотрим такой ответ. Математика конструирует свои объекты. Объекты ее – это знаки, или системы знаков. Однако сказанное отнюдь не следует трактовать, что математика – это некая «игра в бисер». Конструируя знаковую реальность, математика отвечает на запросы практики – по крайней мере – и в древности, и в 17-19 веках (см. Б.И. Гессен. Социально-экономические корни механики Ньютона»). Конечно, сами семиотические системы, созданные математиками, вносят свои проблемы, о которых не подозревали создатели (обнаружение несоизмеримости стороны квадрата и ее диагонали, отрицательных чисел, комплексных и т.д.), и, тем не менее, обусловленность математических систем знаков (арифметики, геометрии, символики дифференциального и интегрального исчисления и т.д.) практическими ситуациями во многом позволяет снять вопрос о непостижимой эффективности математики, который ставит Е. Вигнер. Один из вариантов рассуждений здесь такой: математика «растет» из практических задач, потребностей, и эта связь с материальной практической деятельностью человека некоторым образом «впечатана» и в арифметику, и в дифференциальное и интегральное исчисление, и в дифференциальные уравнения. Если считать, что одни разделы математики надстраиваются над другими (например, математический анализ надстраивается над арифметикой и геометрией, над ним – теория рядов, теория категорий и т.д.), то связь с практикой пронизывает высшие разделы, которые сами могут и не быть обусловлены практическими нуждами человеческой культуры. Идея надстройки одних разделов математики и мысль о том, что практическая обусловленность низших разделов как некая эманация пронизывает и высшие, передается им - это не более, чем метафоры. И, тем не менее – это значимые метафоры, мне кажется.

Итак, математика как наука возникает в рамках иных методологических установок, чем науки о природе. Однако тот факт, что установки ее другие, обнаруживается достаточно поздно – и именно в ситуации открытия неевклидовой геометрии.

Может быть, более правильно сказать так: математика формируется в рамках двух методологических установок – 1) ответ на запросы практики (арифметика, геометрия в древности, алгебра в 15 веке, матанализ в 17-19 веках) 2) для решения практических задач творцы математики создали семиотические системы – числовой ряд, операции с числами, геометрию, циркуль и линейку и фигуры, которые можно сконструировать с их помощью. Именно практические запросы – точнее, тот факт, что арифметика и геометрия отвечали запросам практики – практике сбора налогов, практике строительства, решению астрономических задач и т.д. – прочно закрепили в сознании людей методологическую установку – математика дает истинное описание независимой от нее реальности. Возникновение же геометрии Лобачевского, тоже истинной, потрясло эту методологическую установку (что и явилось революцией) и потребовало другого осознания сущности математики (что и является революцией – или предпосылкой к революции). Другое осознание математики, которое ученые вынуждены были искать, а затем принять найденное – что математическая теория изучает «правильно» сконструированные объекты, что математические теории имеют «право на жизнь» не только тогда, когда они являются истинным описанием независимой от нее реальности, но когда эти теории сконструированы без противоречий. Оказалось, что без противоречий сконструированы три геометрии (Евклида, Лобачевского и Римана). И, несмотря на то, что истинным описанием независимой от них реальности может быть только одна из этих геометрий, как математические объекты следует признать все три, а вопрос о том, какая из этих геометрий реализована в нашем физическом пространстве, должна решать не математика, а физика (астрономия). Здесь следует учесть два обстоятельства. Первое – методологическая установка (о том, что математическая теория должна быть истинным описанием независимой от нее реальности) должна быть отброшена и заменена другой (например, достаточно, чтобы математическая теория была сконструирована без противоречий). Второе – геометрия Лобачевского была признана математиками тогда, когда построили ее интерпретации, т.е. когда нашли математические объекты, для которых справедлива эта геометрия. Так может быть в принципе слова о том, что «математическая теория должна быть истинным описанием независимой от нее реальности» справедливы




Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13


База данных защищена авторским правом ©zodorov.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница