Конспект лекций по дисциплине " Философия математики" для направления подготовки "Философия"


Кризисы в математике. Парадоксы в логике и теории множеств



страница2/4
Дата01.05.2016
Размер0.78 Mb.
ТипКонспект лекций
1   2   3   4

Кризисы в математике. Парадоксы в логике и теории множеств

Речь идет 1) о первом кризисе оснований математики, который возник в Древней Греции во времена Пифагора после обнаружения несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали, и был разрешен (по мнению современных историков математики) Евдоксом Книдским, создавшим теорию отношений; 2) о втором кризисе, который связан с созданием в 17-м веке дифференциального и интегрального исчисления, и суть его заключалась в том, что эти исчисления не имели строгого обоснования до середины 19-го века; 3) и о третьем кризисе, который начался с обнаружения парадоксов в Канторовской теории множеств. Закончен ли этот третий кризис тут мнения расходятся, хотя формально известные парадоксы к 1907-му году были устранены. Впрочем, сейчас в математике имеются и другие обстоятельства, которые можно считать либо кризисными, либо предвещающими кризис (например, отсутствие строгого обоснования у континуального интеграла).

Что же касается парадоксов, то весьма важную роль в математике сыграл известный парадокс лжеца, а также целая серия парадоксов в так называемой наивной (предшествовавшей аксиоматической) теории множеств, вызвавших кризис оснований (один из таких парадоксов сыграл роковую роль в жизни Г.Фреге). Но, возможно, одним из самых недооцененных явлений в современной математике, которое вполне можно назвать и парадоксальным, и кризисным, является решение Полом Коэном в 1963-м году первой проблемы Гильберта. Точнее, не сам факт решения, а характер этого решения.


  1. Программы обоснования математики начала XX века логицизм (Г.Фреге, Б.Рассел, А.Н.Уайтхед), интуиционизм (Л.Э.Я.Брауэр, Г.Вейль) и формализм (программа Д.Гильберта).

В работах по философии математики широко употребляется словосочетание "основания математики". Речь не идет об ”основаниях" как об основах (основы это, например, теория множеств или теория алгебраических категорий), речь идет об основаниях в смысле обоснования, т.е. в смысле логической обоснованности неких исходных предпосылок всей математики. В этом разделе мы будем употреблять термин основания в смысле обоснования.

В настоящее время под основаниями математики понимается совокупность исследований, направленных на анализ строгости доказательств и непротиворечивости математических теорий. Как особая область исследований основания математики появились в начале XX века в связи с проблемой устранения парадоксов, появившихся в теории множеств.

Первая задача оснований математики обоснование строгости признанных доказательств, и освобождение существующих математических теорий от известных парадоксов. Эту задачу надо считать в настоящее время в целом решенной.

Вторая задача оснований математики выявление условий полной надежности математических теорий в смысле строгости доказательств и отсутствия противоречий. На данный момент преобладает мнение, что в рамках чисто логических подходов эта задача нразрешима.

Парадоксы, обнаруженые в теории множеств в конце 19-го и начале 20-го веков, повлекли за собой то, что ныне называется третьим кризисом оснований математики. Многим крупным математикам показалось, что математика гибнет и ее надо спасать. Наиболее простой выход предложил в 1907-м году Э.Цермело он аксиоматизировал теорию множеств, после чего в аксиоматизированной теории известные к тому времени парадоксы стали невозможными. Заметим, что аксиомами Цермело (в виде, усовершенствованном позднее Френкелем) математики пользуются до сих пор, и это, верятно, самая важная система аксиом современной математики.

Но далеко не всех удовлетворил путь, предложенный Цермело. Было выдвинуто три большие программы обоснования (т.е. "спасения") математики, имеющие не только математическое, но и философское значение.

Первая из них, предложенная англичанами Б.Расселом и А.Н.Уайтхедом, заключалась в том, чтобы свести всю математику к логике, непротиворечивость которой предполагалась сама собой разумеющейся. Предшественником Рассела и Уайтхеда был Г.Фреге, ныне считающийся основателем аналитической философии. Идея программы логицизма была намечена Готлобом Фреге (1848-1925) еще в 1884 г., до появления парадоксов (а истоки современные иссследователи находят у Лейбница). Основное развитие эта идея получила уже в XX веке в книге Бертрана Рассела (1872-1970) и Альфреда Норта Уайтхеда (1861-1947) Principia Mathematica (3 тома, 1910-1913). Речь идет о том, что истинность и непротиворечивость математики должна обосновываться через редукцию ее основных теорий (прежде вего арифметики) к элементарным логическим исчислениям. Аксиомы математических теорий должны, как надеялись логицисты, представляться в виде тавтологий, имеющих чисто логическое оправдание. Исходным пунктом этих надежд было безусловно правильное положение, что простые требования логики являются наиболее надежной частью нашего понятийного мышления. Математика, по мнению Рассела, есть только боле зрелая логика. Логицисты исходили из того, что каждое математическое понятие может быть определено в понятиях логики, а каждое математическое утверждение может быть представлено в виде общезначимого суждения в непротиворечивом логическом исчислении. В процессе работы над своей программой Рассел и Уайтхед также аксиоматизировали теорию множеств, и формализовали значительный фрагмент содержательной математики. Однако выяснилось, что для того, чтобы, так сказать, свести концы с концами, им пришлось выйти далеко за пределы того, что большинство математиков согласны были считаь сферой действия логики. Сами исследования в рамках логицизма привели к существенной коррекции первоначальных установок логицизма, и в некотором смысле к его (само)опровержению. Оказалось, что математика по своему содержанию существенно шире логики, и что существуют математические принципы, которые заведомо не могут быть представлены в форме общезначимых логических суждений. Такими принципами являются аксиомы теории множеств аксиома выбора и аксиома бесконечности.

В 1931 году К.Гедель показал, что логика, даже при самом ее широком понимании, принятом Расселом и Уайтхедом, заведомо не полна в отношении математики в том смысле, что она недостаточна для выражения в полном объеме истин арифметики, и теорий, более богатых, чем арифметика.

Вторая программа обоснования математики, называемая интуиционизмом, была выдвинута примерно в то же время (в 1907-м году) голладцем Л.Э.Я.Брауэром (1881-1966). Брауэр утверждал, что истинность и обоснованность математических теорий должна опираться исключительно на собственные интуиции математики, и прежде всего на первичную интуицию числа и на интуитивное представление о правильной математической конструкции. Брауэр был противником формализации и формальной аксиоматизации, и считал логику частью математики. Отрицалось существование актуально бесконечных множеств, и отрицалась законность некоторых логических средств доказательства, в частности, закона исключенного третьего, и принципа доказательства от противного применительно к бесконечным объектам. Математический объект, по Брауэру, существует в том случае, если он либо дан нам в виде интуитивно ясного, либо может быть конструктивно построен, исходя из некоторых первичных интуитивно ясных объектов. При этом конструктивность не получала точного определения, основной упор делался на интуитивную ясность. Заметим, что такие объекты в качестве существующих и непротиворечивых признаются всеми математиками, но Брауэр, в отличие от многих, ограничивал круг существующего в математике только такими объектами. Брауэр также считал математику особым родом умственной деятельности, для которого естественный язык и логика не являются обязательными и даже адекватным средствами выражения. Логика становилась не слишком существенной частью самой матматики. Все это означало призыв к созданию какой-то совершенно новой математики, лишь частично совпадавшей с уже известной. Одним из последователей Брауэра некоторое время был крупный математик (известный также своми работами по физике и философии) Герман Вейль.

Интуиционистская программа в целом должна быть признана несостоятельной, так как в рамках интуиционистской математики невозможно построить многие важные разделы современной математики (прежде всего математический анализ), имеющие практические применения.

Наконец, несколько позднее со своей программой обоснования математики выступил один из ведущих математиков начала 20-го века Д.Гильберт (1862-1943). Суть его замысла состояла в том, чтобы брать каждую отдельную математическую теорию, формализовывать ее, аксиоматизировать, и специальными методами, сугубо конструктивными и не использующими понятия актуальной бесконечности (финитными) обосновывать непротиворечивость и полноту системы аксиом этой теории. Полнота здесь означает, что каждое содержательно истинное в данной теории утверждение после формализации должно формально выводиться из не более чем счетного перечня аксиом с помощью допустимого набора правил вывода. Именно это центральное в программе Гильберта предположение оказалось в конечном счете неверным вследствие теоремы Геделя о неполноте.

Как уже было сказано, две другие программы обоснования математики также оказались несостоятельными с точки зрения достижения тех целей, ради которых они были задуманы. Тем не менее, отдельные фрагменты этих программ сохраняют свою значимость по сей день, и совершенно очевидно, что те усилия, которые были приложены создателями программ обоснования, не пропали даром. Например, усилиями логицистов и членов команды Гильберта в значительной степени была создана математическая логика в ее современном виде. Что касается интуиционизма, то интуиционистскими методами не удалось, например, получить существенную часть теорем математического анализа, который со времен Ньютона и Лейбница остается ядром всей современной математики, и в особенности ее приложений к физике и технике. Однако после появления в 1930-х годах строгого понятия алгоритма эстаферу от интуиционизма принял математический конструктивизм, представители которого внесли немалый вклад в современную теорию вычислимости. Кроме того, в 1970-е и 1980-е годы обнаружились существенные связи между некоторыми идеями интуиционистов (даже теми, которые казались ранее абсурдными) и математической теорией топосов. Математика, имеющаяся в некоторых топосах, весьма напоминает ту, которую пытались создать интуиционисты.



  1. Аксиоматический метод в математике. Формализация. Математическое доказательство.

Аксиоматический метод является едва ли не основным методом организации и развития математического знания. Появившись еще в древнегреческой математике (прежде всего у Евклида), он прошел три основные этапа развития. Этап содержательной аксиоматизации, когда аксиомы выражали самоочевидные свойства какой-то одной и очень конкретной системы математических объектов, сменился в середине 19-го века этапом полуформальной аксиоматизации, суть которого в том, что аксиомы лишаются статуса самоочевидности, и становятся просто определением математического объекта, а объектов (или систем объектов), удовлетворяющих данным аксиомам, оказывается, как правило, очень много. Критически значимым для метода полуформальной аксиоматизации оказался 1899-й год, когда Д.Гильберт в своей книге "Основания геометрии" представил исчерпывающую аксиоматизацию евклидовой геометрии (у самого Евклида были существенные пробелы). Полуформальный аксиоматический метод остается основным "орудием труда" математиков и по сей день. Но примерно в то же время (несколькими годами позднее), когда вышла книга Гильберта, были заложены и основы метода формальной аксиоматизации. Обнаружилось, что все содержательные утверждения, которые возможны в математике, могут быть выражены в виде предложений (формул) особого символического языка (точнее разных языков примерно одного и того же типа, называемых сейчас языками первого порядка). В частности, формулами являются и аксиомы. Это дало возможность точно определить математическое доказательство как конечную последовательность формул (предложений), получающихся из аксиом по точно определенным правилам. Сами математические доказательства, определенные таким способом, стали объектами изучения в математике. Появилась возможность строго доказывать полноту (или неполноту), непротиворечивость и другие свойства формализованных теорий.


Поговорим о формализации в математике несколько подробнее.

Формализация метод выявления и уточнения научного знания путем придания ему строго фиксированной формы.

Одним из таких методов является аксиоматизация, т.е. построение аксиоматической теории. В этом случае исходному знанию, которое первоначально является интуитивным, носит содержательный характер и описывается на естественном языке, придается определенная структура выделяются наиболее общие утверждения, которым придается статус аксиом, все остальные положения теории выводятся чисто логически из этих аксиом в качестве теорем; все термины, кроме исходых, входящих в аксиомы, вводятся по определению и их можно использовать тольо в смысле данных определений. Впервые метод формализации был применен при построении первой логической теории силлогистики. Несколько позже этот метод Аристотеля был использован Евклидом при построенн классической геометрии.

Строго говоря, употребление естестенного языка при формализации является нежелательным. Именно по этой причине аксиоматика Евклида оказалась не полной. Ему не удалось в качестве аксиом задать все свойства геометрических объектов, которые реально использовались при доказательстве теорем. Ряд положений он применял интуитивно, неявным образом опираясь на термины, смысл которых не был формализован. Полную систему аксиом для евклидовой геометрии впервые построил Д.Гильбрт в книге "Основания геометрии" (1899 г.).

Более совершенным методом формализации является метод построния формальных теорий исчислений. С этой целью предварительно осуществляется формализация естественного языка, т.е. создается специальный язык символов. В этом языке задаются правила порождения осмысленных последовательностей символов (например, формул), которые становятся содержательными утверждениями благодаря их интерпретации. Отдельные утверждения объявляются аксиомами. Ввводятся правила преобразований одних последовательностей символов в другие, которые выступают в качестве логических правил дедукции. При этом сама дедукция превращается в формальный вывод, т.е. в такую последовательность шагов, осуществление которых не требует обращения к смыслу используемых понятий. Тем самым формализуется содержательное понятие доказательства. В настоящее время такой метод формализации широко применяется в математике и логике.

Другим примером использования мтода формализации является построение формального аналога интуитивного понятия алгоритма. Было предложено несколько способов такой формализации, которые оказались эквивалентными друг другу. Это обстоятельство подтверждает тезис Чёрча, высказанный им в 1936 году, о том, что предложенные формальные аналоги полностью описывают смысл исходного интуитивного понятия алгоритма.

Метод формализации является важным теоретическим методом познания, т.к. целый ряд вопросов может быть решн только при наличии соответствующих формальных построений. Относительно формализованных систем знания (исчислений или теорий) ставятся и решаются вопросы об их непротиворечивости (т.е. о невозможности доказательства в системе некоторого утверждения и его отрицания), о полноте (т.е. о доказательстве в ней каждого содержательно истинного утверждения, которое может быть сформулировано на языке теории). Построение формального аналога понятия алгоритма позволило доказывать теоремы о неразрешимости некоторых проблем, т.е. о несуществовании алгоритмов,решающих эти проблемы.

Д.Гильберт выдвинул программу обоснования математики, первым пунктом которой было требование ее формализации. Однако последущие исследования показали ограниченность метода формализации. Так, в 1931 году К.Гёдель доказал теорему о том, что обычная арифметика натуральных чисел в принципе не может быть формализована так, чтобы эта формализация оказалась одновременно непротиворечивой и полной. Все истинные предложения арифметики нельзя вывести ни из какой фиксированной системы аксиом. Это указывает на принципиальную неустранимость содержательных методов исследования даже в такой науке, как математика.


Что касается "обычных" математических доказательств (в полуформально аксиоматизированных теориях, каковыми является большинство математических теорий), то здесь центральное место занимают вопросы о строгости и достоверности таких доказательств. По-существу, единственной разработанной теорией, решающей вопросы о строгости и достоверности положительно, является концепция В.Я.Перминова, исходящая из допущения априористской природы математического знания. Для сторонников нефундаменталистского подхода к философии математики эта концепция, по-видимому, неубедительна, так как с социокультурной парадигмой априоризм несовместим.

Тем не менее, рассмотрим вопрос об априоризме несколько подробнее, так как именно на допущении о факте априорности первичных математических понятий основывается, в суности, единственное сколь-нибудь убедительное обоснование того, что математические доказательства являются в принципе надежно обоснованными.

Математическим априоризмом называется такой взгляд на природу математических понятий, согласно которому они отражают структуру не реальности, а самого разума и в этом смысле являются независимыми от опыта. Такое их понимание впервые вводится Лейбницем, и поддерживается И.Кантом (1724-1804), играя важную роль в его теории познания. С точки зрения Канта, исходные положения арифметики и геометрии являются концептуальным выражением представлений о пространстве и времени, имеющих внеопытную природу. Математика изучает именно их, а не свойства (физической) реальности.

Несколько подробнее скажем о взгляде Канта на математику. Вся математика и математическая физика отнесены Кантом к области созерцания. Кантовское определение математики таково

Математика мышление о предметах, конструируемых рассудком в образах чистого созерцания (т.е. созерцания, свободного от ощущений).

Все, что измышляет чистый разум вне созерцаний ("дикурсивное мышление" или "трансцендентальные идеи") Кант относил к метафизике.


Возвращаясь к математическому априоризму, следует сказать, что объективные предпосылки его возникновения заключены в самом характере исходных представлений математики, их устойчивости и интуитивной ясности. Априористская концепция математики является попыткой объяснить эти особенности математического знания.

В XIX веке ряд философов пытался примирить математический априоризм с опытным и эволюционным пониманием теоретического знания. Согласно Спенсеру, стороны реальности, важные для выжэивания рода, закрепляются в механизмах мышления и затем выступают в качестве ьезусловных внешних предписаний мыслительной деятельности. Априорное для индивида, с этой точки зрения, является апостериорным для рода и может быть объясненоисходя из приспособительной природы знания, а не из предположения о существовании неизменных врожденных форм чувственности. Эта идея лежит в основе эволюционной эпистемологии, которая развивалась в XX веке в работах К.Поппера (1902-1994), К.Лоренца и др. Эволюционное объяснение априорного знания приводит к представлению о том, что устойчивость и надежность исходных принципов математики и логики не явлется абсолютной, и они могут быть заменены в будущем некоторыми другими принципами, более адекватными с точки зрения приспособления к среде.

Попытка развития концепции чистого априоризма, свободного от натурализма и субъективизма, была предпринята Э.Гуссерлем (1859-1938) в "Логических исследованиях" (1901). По Гуссерлю, всякий акт опытного восприятия мира связан с активностью разума, порождающего чистые эйддейтические формы, не подверженные историческому изменению. Априорное (эйдейтическое) знание у Гусерля не является независимым от опыта в своем генезисе, но оно безусловно независимо от нго в своем статусе в смысле невозможности его критики со стороны опыта. Исходя из наблюдения актов измерения и счета человеческое сознание, по Гуссерлю, восходит к чистым и неизменным математическим формам, образующим структуру мышления, приложимую к определенным сферам опыта или к опыту в целом. Априористская концепция Гусерля построена на убеждении, что сама активность мышления способна преодолевать ограниченность субъективного и коллективного опыта и от частного и субъективного опыта восходить к мысленным формам, имеющим абсолютное значение для познания.

Существуют также попытки объяснить природу математического априоризма исходя из законов функционирования языка (Н.Хомский, Я.Хинтикка), или из понятия деятельности (Д.Лукас) и др.

Изложим теперь основные положния той версии математического априоризма, которая развивается В.Я.Перминовым.

Перминов признает, что в традиционном априоризме имеются слабые места, уязвимые для критики. Например, является неясным понятие чистого созерцания, которое способно доставлять нам исходные сведения о математических объектах, обладающие самоочевидностью и вневременной значимостью. Что касается позиции Гуссерля, то, исключив анализ целей мышления как неприемлемую метафизику, он (Гуссерль) вынужден выводить нормы мышления из самого его материала, что неизбежно возвращает его к идее относительности всех принципов.

Перминов начинает с утверждения о том, что в процесс действия мы необходимо предписываем реальности некоторые общие требования к предмету, оправданные с точки зрения принципиальной возможности действия реальность представляется как состоящая из конечных предметов, разделенных в пространстве и времени, идеально стабильных и аддитивных в смысле независимости своих свойств от увеличения или уменьшения совокупности. Вся реальность рассматривается при этом как неограниченная или способная к неограниченному увеличению совокупности такого рода примеров. Эти представления, порождаемые деятельностью наряду с общими субъектно-объектными категориями, Перминов называет предметной (или категориальной) онтологией (идеальными предметными представлениями). Исходные очевидности элементарной математики могут быть теперь поняты как представления, заданные структурой предметной онтологии.

С этой точки зрения интуитивной основой математики являются не представления опыта, а предметная (категориальная) онтология как определенный аспект универсальной праксеологической онтологии. Этот вывод в целом согласуется с кантовской характеристикой математического мышления. Однако следует отказаться от понятия времени как интуитивного основания арифметики. Деятельностный анализ понятия числа показывает, что оно фиксирует в себе только структурные аспекты универсальной предметности и не имеет отношения к идее процесса в его объетивном или субъективном понимании.

Более подробно с концепцией В.Я.Перминова можено познакомиться по его книгам "Философия и обоснование математики" и "Развитие представлений о надежностьи математического доказательства".

В целом надо, однако, признать, что современная теория познания еще далека от общепризнанного решения проблемы априоризма. Прояснение природы математического априоризма остается одной из наиболее глубоких проблем современной философии математики и теории познания в целом.




  1. Теоремы К.Геделя и их значение

Речь идет о двух теоремах, доказанных Куртом Геделем (1906-1978), и опубликованных в 1932-м году. Первая теорема (теорема Геделя о неполноте) утверждает, что в любой достаточно богатой формализованной и аксиоматизированной математической теории при условии ее непротиворечивости существуют утверждения содержательно истинные, но не выводимые формально из аксиом. "Достаточно богатая" здесь означает, что аксиомы данной теории позволяют определить в ее рамках натуральные числа со всеми их свойствами. В частности, сама формализованная и аксиоматизированная теория натуральных чисел (арифметика) удовлетворяет условию первой теоремы Геделя. Для доказательстве этой теоремы Гедель особым образом построил формулу, котрая утверждала свою невыводимость из аксиом. Ситуация очень напоминает парадокс лжеца если эта формула представляет собой истинное утверждение: то она невыводима, а если не истинна, то выводима, а следовательно, истинна. Но тогда вся теория противоречива. Вторая же теорема Геделя гласит, что непротиворечивость достаточно богатой формализованной теории не может быть доказана средствами самой этой теории. Несколько лет спустя А.Тарским и А.Черчем были доказаны две другие важные теоремы, в некотором смысле близкие к первой теореме Геделя и дополняющие ее.

Появление всех этих теорем имело следующие непосредственные последствия. Во-первых, стало окончательно ясно, что невозможно достичь целей, провозглашенных логицистами математика, даже арифметика, не сводится к формальной логике. А во-вторых (и это оказалось гораздо более существенным) из теорем Геделя следовало, что и программа Гильберта обречена на неудачу. В самом деле, основной гипотезой, на которую опирался Гильберт, было предположение о том, что в каждой теории после ее формализации и аксиоматизации (и если она при этом окажется непротиворечивой) любую ее теорему можно формальным образом вывести из аксиом. Первая теорема Геделя утверждает, что для самых интересных математических теорий (арифметика, теория множеств и т.п.) это невозможно в принципе.

Заметим, что в 1978 году Пэрис и Харрингтон нашли вполне конкретную теорему о натуральных числах (так называемую усиленную теорему Рамсея), которую невозможно формально вывести из аксиом натуральных чисел. Подробности можно найти, например, в книге Ю.И.Манина "Вычислимое и невычислимое", с. 100.





  1. Каталог: bin files
    bin files -> Методическое пособие для учителей Казань 2007
    bin files -> Действия при возникновении пожара Определение пожара
    bin files -> Программа «Физиология человека и животных»
    bin files -> Рассказывает С. Ф. Глинка, минералог, профессор Казанского университета
    bin files -> Программа курса «Физиология сенсорных систем»
    bin files -> Основы безопасности жизнедеятельности. Безопасность и защита человека в чрезвычайных ситуациях. Основные понятия, термины и определения. Безопасность в системе «Человек-среда обитания»
    bin files -> 1. в соответствии со ст. 111 Трудового кодекса РФ всем работникам кгу предоставляются выходные дни
    bin files -> Программа дисциплины «Проблемы рабочего времени и времени отдыха»


    Поделитесь с Вашими друзьями:
1   2   3   4




База данных защищена авторским правом ©zodorov.ru 2020
обратиться к администрации

    Главная страница